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1、圆的有关性质知识网络重难突破知识点一 圆的根底概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径以O点为圆心的圆记作O，读作圆O特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形确定圆的条件： 圆心； 半径， 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小补充知识：1圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3半径相等的圆叫做等圆 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦弧的概念：圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧以A
2、、B为端点的弧记作AB，读作弧AB在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距弦心距、半径、弦长的关系：考点典例12022费县期末以下命题中正确的有( )弦是圆上任意两点之间的局部；半径是弦；直径是最长的弦；弧是半圆，半圆是弧A1个 B2个 C3个 D4个【答案】A【解析】弦是圆上任意两点之间的连线段，所以错误；半径不是弦，所以错误；直径是最长的弦，正确；弧是半圆，只有180的弧才是半圆，所以错误，应选A典例22022汕头市期末O中最长的弦为8cm，那么
3、O的半径为()cmA.2B.4C.8D.16【答案】B【详解】O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，O的半径为4cm应选：B.【名师点睛】此题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键典例32022大庆市期末以下说法错误的选项是 A直径是圆中最长的弦 B长度相等的两条弧是等弧C面积相等的两个圆是等圆 D半径相等的两个半圆是等弧【答案】B【解析】试题解析：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；C、面积相等的两个圆的半径相等，那么它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法
4、正确应选B典例4 以下命题中正确的选项是 A过圆心的线段叫做圆的直径 B面积相等的两个圆是等圆C大于半圆的弧叫劣弧 D平分弦的直径垂直于这条弦【答案】B【详解】A、直径是经过圆心的弦，两端点要在圆上，错误；B、圆的面积相等，那么它们的半径相等，是等圆，正确；C、大于半圆的弧叫优弧，错误；D、平分弦不是直径的直径垂直于这条弦，错误；应选B【名师点睛】此题考查了直径，等圆，优弧，劣弧的概念及垂径定理典例52022余杭区期末AB是半径为5的圆的一条弦，那么AB的长不可能是 A4B8C10D12【答案】D【详解】因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L10应选:D【名师点睛】考查圆的性质，掌握直径是圆中最长
5、的弦是解题的关键.知识点二 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法考点：1） 过圆心，作垂线，连半径，造RT，用勾股，求长度；2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分典例12022广东铁一中学初三期中将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，那么AOB的度数为A90B120C135D150【答案】B【详解】过O点作OCAB，垂足为D，交O于点C，由折叠的性质可知，OD=12OC=12OA，由此可得在RtAOD中，OAD=30，同理可得OBD=30在AOB中，由内角和定理，得：
6、AOB=180OADOBD=120应选B【名师点睛】此题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断关键是由折叠的性质得出含30的直角三角形典例22022赣州市期中以下说法正确的选项是A平分弦的直径垂直于弦B圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C相等的弧所对弦相等D长度相等弧是等弧【答案】C【详解】解：A.错误需要添加此弦非直径的条件；B.错误应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；C.正确D.错误长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等；应选C【名师点睛】此题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握根本知识，属于中考常考题型典例3202
7、2山东胜利一中初三期末如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m，拱高CD=4m，那么圆弧形桥拱所在圆的半径为A.6 mB.8 mC.10 mD.12 m【答案】C【解析】【详解】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连接OA根据垂径定理，得AD=8，设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=82+r-42，解得r=10m应选C【名师点睛】此题考查了勾股定理及垂径定理解题的关键是构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算典例42022寿光县期末：如图，O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，那么O的半径为A.4cmB.5cmC.42cmD.2
8、3cm【答案】B【详解】连结OA，如图，设O的半径为R，CDAB，APO=90BP，在RtOAP中，OP=ODPD=r2，OA=r，AP=4，(r2)2+42=r2，解得r=5，即O的半径为5cm.应选B.【名师点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理、 勾股定理.知识点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等典例12022燕山区期末如图，圆心角AOB=25，将弧A
9、B旋转n得到弧CD，那么COD等于A.25B.25+nC.50D.50+n【答案】A【解析】试题解析：将AB旋转n得到CD，AB=CD，DOC=AOB=25应选A典例2 如图，AB是O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，BOC=40，那么AOE=( )A.40B.60C.80D.120【答案】B【详解】D、C是劣弧EB的三等分点，BOC=40EOD=COD=BOC=40AOE=60应选：B【名师点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等.典例3 2022泗阳县期中以下命题中，真命题是 A相等的圆心角所对的弧相等B面积相等的两个圆是等圆C三角形的内心到各顶点的距离
10、相等D长度相等的弧是等弧【答案】B【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，是假命题；B、面积相等的两个圆的半径相等，是等圆，故正确，是真命题；C、三角形的内心到三角形各边的距离相等，故错误，是假命题；D、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故错误，是假命题，应选：B【名师点睛】此题考查命题与定理的知识，解题关键是圆周角定理，等圆的定义、三角形的内心的性质，属于根底定义，难度不大知识点四 圆周角定理考点圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论1：在同圆或等圆中，如果两个
11、圆周角相等，它们所对的弧一定相等推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角典例12022泗阳县期末如图，AB是O的直径，BC是O的弦，AOC80，那么ABC的度数为A20B30C40D50【答案】C【详解】AC=AC，ABC=12AOC=1280=40，应选C【名师点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键.典例22022安定县期末如图，AB是O的直径，D=40，那么CAB的大小为 A.20B.40C.50D.70【答案】C【解析】D=40，B=
12、D=40.AB是O的直径，ACB=90，CAB=9040=50.应选：C.【名师点睛】此题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.典例32022余杭区期中如下图的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船S不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角ASB必须A.大于60B.小于60C.大于30D.小于30【答案】D【解析】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：AB=OA=OB，即AOB为等边三角形，AOB=60，ACB与AOB所对的弧都为AB，ACB=12AOB=30，又ACB为SCB的外角，ACB
13、ASB，即ASB30应选D典例42022苏州市期中如图，AB是O的直径，C，D是O上位于AB异侧的两点以下四个角中，一定与ACD互余的角是AADCBABDCBACDBAD【答案】D【解析】ACD对的弧是AD，AD对的另一个圆周角是ABD，ABD=ACD同圆中，同弧所对的圆周角相等，应选B.知识点五 圆内接四边形圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角典例12022萧山区期中如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，点C为弧BD的中点，假设DAB=40，那么ABC=_【答案】70【解析】连接AC，点C为弧BD的中点，CAB=12DAB=20，AB为O的直径，ACB=90，ABC=70，故答案为：70【名师点睛】此题主要考查了圆周角定理以及推论，连接AC是解此题的关键.典例22022萧山区期中如图，正五边形ABCDE为内接于O的，那么ABD=_【答案】72【解析】连接AO、DO，根据正五边形的性质求出AOD，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解 解：如图，连接AO、DO，五边形ABCDE是正五边形，
