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1、2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=x|x22x0，B=x|x，则（）AAB=BAB=RCBADAB2（5分）若复数z满足（34i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A4BC4D3（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A简单的随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样4（5分）已知
2、双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=xDy=5（5分）执行程序框图，如果输入的t1，3，则输出的s属于（）A3，4B5，2C4，3D2，56（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）ABCD7（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A3B4C5D68（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+169（5分）设m为正整数，（x+y）2
3、m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A5B6C7D810（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD11（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|ax，则a的取值范围是（）A（，0B（，1C2，1D2，012（5分）设AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3若b1c1，b1+c1=2a1，an+1=an，则（）ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递
4、减数列，S2n为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）已知两个单位向量，的夹角为60，=t+（1t）若=0，则t= 14（5分）若数列an的前n项和为Sn=an+，则数列an的通项公式是an= 15（5分）设当x=时，函数f（x）=sinx2cosx取得最大值，则cos= 16（5分）若函数f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）如图，在ABC中，ABC=90，AB=，BC=1，P为ABC内一点，BPC=90（1）若PB=，求PA；（2）若APB=150，求ta
5、nPBA18（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明ABA1C；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值19（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
6、（）求这批产品通过检验的概率；（）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望20（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C（）求C的方程；（）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|21（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2（）求a，b，c，d的值；（）若
7、x2时，f（x）kg（x），求k的取值范围四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22（10分）（选修41：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径23已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2sin（1）把C1
8、的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（0，02）24已知函数f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当a=2时，求不等式f（x）g（x）的解集；（）设a1，且当x，时，f（x）g（x），求a的取值范围2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=x|x22x0，B=x|x，则（）AAB=BAB=RCBADAB【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合【分
9、析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出AB和AB【解答】解：集合A=x|x22x0=x|x2或x0，AB=x|2x或x0，AB=R，故选：B【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题2（5分）若复数z满足（34i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A4BC4D【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】由题意可得 z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 +i，由此可得z的虚部【解答】解：复数z满足（34i）z=|4+3i|，z=+i，故z的虚部等于，故选：D【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘
10、除法法则的应用，属于基础题3（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A简单的随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样【考点】B3：分层抽样方法菁优网版权所有【专题】21：阅读型【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大
11、了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理故选：C【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题4（5分）已知双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=xDy=【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=x，代入可得答案【解答】解：由双曲线C：（a0，b0），则离心率e=，即4b2=a2，故渐近线方程为y=x=x，故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题5（5分）执行程序框图，如果输入的t1，
12、3，则输出的s属于（）A3，4B5，2C4，3D2，5【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图菁优网版权所有【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式【解答】解：由判断框中的条件为t1，可得：函数分为两段，即t1与t1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t1时，函数的解析式为：s=4tt2故分段函数的解析式为：s
13、=，如果输入的t1，3，画出此分段函数在t1，3时的图象，则输出的s属于3，4故选：A【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；根据判断框中的条件，设置分类标准；根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式6（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）ABCD【考点】LG：球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心
