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1、6.1平方根、立方根教学目标：1. 了解平方根、算术平方根、立方根的意义，会表示平方根、算术平方根、立方根。2. 能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题 。3. 知道开方是乘方分逆运算，会用开方求某些数的平方根和立方根。4. 能运用算术平方根和立方根知识解决一些简单的实际问题。重难点：1. 平方根、算术平方根、立方根的定义和性质。知识点一：平方根（重点；掌握）名称定义表示方法性质举例平方根一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫二次根式，即x2=a，那么，x叫做a的平方根非负数a的平方根记作“”，读作“正负根号a”，其中a叫做被开方数正数有两个平方根，它们互为相
2、反数，正数a的平方根为；0的平方根是0；负数没有平方根（5）2=25，那么5叫做25的平方根（或者或25的平方根是5）知识拓展：对于平方根定义的理解应注意：（1） 平方根的概念中提到的字母a表示的数是零与正数，不能为负数；（2） 平方等于a（a0）的数可以是正数、负数和零。例1. 填空。（1） 的被开方数是 ，可读作 ，表示 的平方根；（2） 正数有 个平方根，它们 ；（3） 0的平方根是 ，负数 平方根。例2.（1）4有 个平方根，可表示为 ，读作 ；（2）如果一个数m有平方根，那么m满足的条件是 。知识点二：算术平方根名称定义表示方法性质举例算术平方根一般地，如果一个正数x平方等于a，那么
3、这个正数x叫作a的算术平方根，规定0的算术平方根是0f非负数a的算术平方根记作“”，读作“根号a”正数a的算术平方根为；0的算术平方根是0；即=0；负数没有算术平方根52=25，那么5叫做25的算术平方根（或者说25的算术平方根是5）知识拓展：平方根与算术平方根的区别及联系：区别（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫作a的平方根”；那么“非负数a的非负平方根叫作a的算术平方根”。（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个（3）表示方法不同：正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示为（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负
4、，两数互为相反数联系（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有（3）0的平方根、算术平方根均为0辨析比较，-，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负的平方根，要特别注意例1. 填空（1） 的算术平方根是1；（2） 16的算术平方根是 。例2.5的算术平方根为 （ ）A. B.25 C.25 D.知识点三：开平方运算（重点；理解）求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方运算是互逆运算，根据这种关系可可以求出一些数的平方根。知识拓展：（1）开平方运算就是求一个数的平方根的运算；（3）
5、 平方运算与开平方运算互为逆运算，一个正数的平方根是正数，负数的平方也是正数，因此正数开平方有两个值，它们互为相反数，即开平方运算的结果是平方根；（4） 开方、平方与加减乘除一样，都是一种运算。例1. 求下列各数的平方根。（1）1； （2）（-）2例2. 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。（1） （2）-4（3）-0.49 （4）（-3）2知识点四：立方根的定义及开立方根运算（重点；掌握）立方根的概念一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也称数a的三次方根。用数学式表示为：若x3=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根立方根的表示方
6、法类似于平方根的表示方法，数a的立方根我们用符号来表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0开立方运算求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方运算与立方运算互为逆运算知识拓展：对于立方根定义的理解，应注意以下三点：由于负数的立方根等于负数，所以负数有立方根，注意与平方根的区别；根指数3不能省略（不同于“二次根号a”表示为）；被开方数的范围可由非负数扩展到所有的数。例1. 求下列各数的立方根27 ； -27 ；3； -0.064； -5-0.216； - ； -1000知识点五：平方根与立方根的区别与联系
7、（重点；了解）算术平方根平方根立方根定义正数a的正的平方根叫作a的算术平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根如果一个数的立方根等于a，那么这个数叫作a的立方根表示（a0）(a0)（a为任意数）正数正数（一个）互为相反数（两个）正数（一个）0000负数没有没有负数（一个）是本身0，101,0，-1例1. 已知|a+2|=0，b是25的算术平方根，c是-27的立方根，求的值。例2. 的立方根是 。拓展应用：1. 求下列各式中的x。（1） x2-361=0 (2)(x+1)2=289(3)9(3x+2)2-64=0 (4)x2-6=0(5) (x-3)2-9=0 (6)16x2-9=
8、0(7)4(2x+3)2=252. 求下列各式中x的值（1）8x3+27=0 (2)(x-1)3=64(3)64(x+1)3=27 (4)3(x-3)3-24=0(5)3x3=81 (6)x3-2=0(7)(x+3)3=4 (8)(2x+3)3-1=2.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简-+3.已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简|1-a|+的结果为 （ ）A.1 B.-1 C.1-2a D.2a-14.若，求x+y的平方根。5.已知|x-4|+(z+27)2=0，求的值。6.如果+2017成立，求x2+y-3的值.7. 若（a-2）2与互为相反数，求的值。8. 已知x-2的平方根是2,
9、2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根。9. 已知2a-1的平方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，求a+b+1的立方根。10. 国际比赛的足球场长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间，为了迎接2012年亚洲杯，某地建设了一个长方形足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7560m2，请你判断这个足球场能否用作国际比赛，并说明理由。11. 一个正方体的棱长是7厘米，再做一个正方体，使它的体积是该正方体体积的8倍，求新正方体的棱长。12. 先填写下表，再回答问题。a0.0000010.00010.011100100001000000（1） 被开方数a的下数点的移动和它的算术平
10、方根的小数点的移动之间有何规律？（2） 已知=1800，-=-1.8，你能求出a的值吗？（3） 试比较与a的大小。13. 一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的27倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍呢？体积变为原来的1000倍？体积变为原来的n倍呢？14. 已知=1-a2，试求a的值。15. 已知，求的值。16. 我们知道，当a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，将b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。（1） 试举例来判断上述结论是否成立；（2） 若互为相反数，
11、求1-的值。17. 对于任意实数a,b规定两种运算：ab表示a2+b2的算术平方根，ab表示（a+1）（b-1）的立方根，是按照上述规则，计算（512）+2（-8）的值。综合检测：1. 下列式子没有意义的是 （ ）A. B. C. D.2. 的算术平方根是 （ ）A.2 B.2 C. D.3. 已知正方形的边长为a，面积为S，则 （ ）A. S= B.S的平方是a C.a是S的算术平方根 D.a=4.81的平方根是 ，-64的立方根是 。5.小麦在作业本上做了四道计算题：；。其中计算错误的有 。（只填序号）6.若3x+16的立方根是4，则2x+4的平方根是 。7. 求下列各式的值 - 8. 已
12、知，则ba等于 （ ）A. -2 B.2 C.3 D.-19. 若，则（x+1）3等于 （ ）A.8 B.8 C.512 D.-51210.根据如图所示的计算程序，若输入x的值为64，则输出的结果为 。11.求下列式子中的未知数x。（1）x2-49=0 （2）(3x-2)3=112. 小明的爸爸给小明买了一对画眉鸟，装在一个很小的笼子里，小明做了一个大一点的鸟笼，体积为0.125立方米的正方体。（1） 这个正方体的棱长是多少？（2） 小明发现这个鸟笼还是不够大，他准备把各个棱长再放大为原来的2倍，重新做一个鸟笼 ，则放大后的鸟笼的体积是多少？13. 如果一个整数a的平方根分别是7和3-2x。（1） 求a,x的值；（2） 求22-3a的立方根。
