《数学建模-飞机加油》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模-飞机加油（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空中加油问题的研究摘 要本文研究的是飞机空中加油的问题，由于主机与辅机的速度相同，辅机可以对主机加油，也可以对辅机加油，当辅机数目增多时，基地数变多的时候，情况就变得复杂，本文的研究目的是如何实现在不同要求下的最优的作战方案。问题1：在时，要求主机的作战半径，本文分析了辅机为主机服务的各种可能，总结出了一个规律：当为主机前进服务和为主机返回服务的辅机数尽量均衡时，主机的作战半径最大。由此规律，解得。问题2：首先，根据问题1的计算过程给出了安排加油机的2个准则：（1）辅机给主机加的油尽量多；（2）辅机在加完油后都能飞回去。其次，讨论了在问题1的加油规则下关于的表达式。再次，我们给出了方案2：将辅
2、机和主机两两组合，往返的相邻两个加油点的距离为,并将前进和返回的辅机配合方式分开讨论。最后，给出了的上下界，用递归分析法解出了当时，与的渐近表达式并讨论了最优作战方案的必要条件。问题3：分析出了辅机重复飞行时相当于增加了一倍的辅机，在此基础上，讨论了时主机的作战半径，分析了大于4时方案2可节约的辅机数，得出了趋于无穷时与的渐近关系。问题4：先确定基地在一条直线上，再假定了分配到各基地的辅机数量，按照方案1和问题2中给出的两个准则，建立以作战半径最大为目标函数，飞机数目为约束的数学模型，用lingo求解出结果。问题5：在前面研究的基础上，结合图形分析，得出最快达到并返回的作战方案所需要的飞机数为
3、306架辅机；对于最小辅机数量的方案，讨论了四种路径，解出最小辅机数的方案所需的辅机数为196架。关键词：辅机配合方式；数学归纳法；递归分析一 问题的重述对飞行中的飞机进行空中加油， 可以增大受油机的航程，增加有效载重，提高远程作战能力。设为空军基地，基地有一架作战飞机和架加油机。主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的最大航程均为（公里）。辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油。今主机要执行某作战任务（如侦察或空投），所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地。 主机的最大作战半径（简称作战半径）是指主机在架辅机的协助下所能飞到的（并安全返回）离基地的最远距离。显然
4、当时，作战半径。为了求解出最优作战方案，需要知道辅机的数目和所有飞机的作战方案，即主机与辅机、辅机与辅机之间如何配合：在什么地点加油，加多少油，使所有的飞机均能安全返回基地且付出的代价最小。我们需要解决以下问题:问题1 设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，在上述假设下的作战半径记为。当时，求作战半径。问题2 在问题1的假设下，当时，尽你的可能求出（提示：先假设辅机可以分为两类，第一类专为主机前进服务，第二类专为主机返回服务，再考虑一般情形），或给出的上、下界； 讨论当的过程中与n的渐近关系； 试给出判断最优作战方案（主机能够飞到处）的必要
5、条件或充分条件。问题3 若每架辅机可以多次上天，辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行的时间，飞机第一次起飞、转向、在空中加油的耗时仍忽略不计，此时的作战半径记为，讨论与问题1、问题2类似的问题。问题4 若另有2个待建的空军基地（或航空母舰），有架辅机，主机从基地起飞，向一给定的方向飞行，必须在基地降落，辅机可在任一基地待命，可多次起飞，且可在任一基地降落。其他同问题3的假设，讨论的选址和主机的作战半径。问题5 设为矩形，为三个空军基地，主机从起飞，到执行任务（执行任务时间仍忽略不计）再返回。假设辅机起飞、降落的基地可任意选择，其他同问题3的假设，试按最快到达并
6、返回和最少辅机架数两种情况给出你的作战方案。二 问题分析本文研究的是辅机数量和主机作战半径的关系。根据题意，主机与辅机的速度相同，这就决定了辅机必须与主机同时飞行或辅机在主机返回时以相遇的方式迎接主机。辅机的数量，主机与辅机、辅机与辅机之间的配合方式决定了主机作战半径大小。问题1：主机要飞得尽量远，就要使辅机给主机加的油尽量多，且辅机必须留有能够飞回去的油，在这个前提下，辅机飞的距离越短，能够给主机加的油越多，因此可以制定2个原则：（1）辅机飞得尽量短；（2）辅机必须有足够的油飞回。根据此原则画图寻找规律，并手动求出时主机的作战半径。问题2：根据问题1的分析计算过程，可以找出在主机飞得最远时辅
7、机接送主机的规律、主机作战半径与辅机数目的关系，把他们抽象为模型，用简洁的数学表达式展现出来，找出模型的不足，尽量的改进模型。如果最后不止有一种模型，要具体问题具体分析，结合的数目或者其他因素评价模型，给出在各种情况下的最优作战方案。时，将关于的表达式中的所有小项忽略，保留的大项即为：与的渐近关系。问题3：只需计算在飞机多次上天的情况下，在问题2的基础上，可以节约多少架飞机。例如原先有架辅机，作战半径为，在考虑飞机可多次上天之后，节约架飞机，则。问题4：由于每个基地的辅机数是未知的，我们先设各个基地的辅机数为，再确定3个基地的位置关系，在分析主机在哪种方式下能使飞行半径最大后建立数学模型。问题
8、5：A到C的最短距离即为直线AC，所以要用最短时间到C，须沿AC飞行，如果A可以直接飞行到C的话，根据前面给出的结果先判断最好采用哪种方案，然后求解。如果A不能直接到C，就要采用折中的办法，使其在能到C的情况下飞行的距离最短。结合问题2，3得出的模型和规律，考虑影响辅机总数的主要因素，然后在优先满足主要因素的情况下设计飞行路径。三 模型的假设1. 所有飞机在空中均能正常作业，不会发生故障；2. 加油过程中油量没有损耗；3. 当多架飞机在空中同时飞行时，空间足够大，即不会发生碰撞；4. 基地的容量足够大，能容纳无穷多的飞机。四 符号说明 表示为主机前进服务的辅机数 表示为主机返回服务的辅机数 表
9、示当主机前进时最远辅机加油点与基地的距离 表示当主机返回时最远辅机加油点与基地的距离 表示基地的辅机数 表示基地的辅机数 表示基地的辅机数 辅机数目为时，原始1，2方案的作战半径 辅机数目为时，改进后1，2方案的作战半径 方案1中偶数架辅机情况的改进后的作战半径，辅机数目为 方案1中奇数架辅机情况的改进后的作战半径，辅机数目为五 模型的建立与求解5.1 求解时，作战半径由于飞机只能上天一次，且主机与辅机的速度相同，所以辅机要给主机加油，必须与主机同行或在主机返回时前去迎接，主机与辅机在油箱装满后的最大航程均为,我们就需要考虑使用有限的飞机和存油量油资源去使达到最大，且所有飞机均能安全返回。在飞
10、机数目确定的情况下，我们需要考虑主机在前进和返回时如何安排辅机的数目，辅机在哪个点加油，辅机之间是否需要相加油等问题。我们设定加油的原则是：（1）辅机给其他飞机的加油量尽量多，这样能使主机和后面工作的辅机的油量更多，使作战半径尽量大（2）辅机在加完油后刚好能飞回去，这样既保证了辅机能飞回去又不至于造成油资源的浪费。由于主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，我们可以仅用飞行距离来表达一个不等式：辅机来回消耗的油量和给主机加油的总量小于或等于。 时的作战半径 当时，只有一架辅机给主机加油，简单分析即可知道，不管辅机是在主机前进时给主机加油，还是在主机返回时给主机加油，其都是一样的。现在
11、我们来分析求解主机在前进时辅机给主机加油的情况：假设辅机在距离基地远处给主机加油后返回基地，即辅机给主机加的油和自身消耗的油量要小于或等于，因为油箱的容量只有能让飞机飞行距离为的油。解得,我们取，原因为：若取，那么辅机上的油在给主机加满返回基地后，油箱内仍有油剩余，而主机由于没有得到这部分油而使作战半径变小；如果我取，主机的油箱是满的，辅机的油也刚好可以飞回基地。于是当时，作战半径。 时的作战半径 当时，辅机的配合方式有：两送、两迎、一送一迎，其中两送或两接方式中还存在辅机之间可能相互加油的情况。我们经过计算3种情况后发现一接一送的方式能使作战半径最大，因为这样的飞行方式能使辅机间重复飞行的距
12、离为零。我们假设在送主机时辅机1在距离基地处给主机加油，主机在返回的过程中辅机2在点处给主机加油后两架飞机同时返回基地。我们取,原因与，取时的原因分析相同。于是作战半径 时的作战半径 当时，辅机的配合方式有：三送、三迎、两送一迎，两迎一送，同时每种方式还存在辅机间可能加油的情况，经过分析发现:相同配合方式下，送与迎的过程的辅机分配相等或相差最小时，作战半径最大。于是我们就要保持送与迎之间的辅机数尽量均衡。当时，经过计算比较，我们发现两送一迎或两迎一送且辅机间互相加油时，作战半径最大，我们以两送一迎为例来进行计算，我们设主机前进时的第一个加油点与基地的距离为，第二个加油点与第一个加油点距离为，主
13、机返回基地过程中，辅机3前去迎接的加油点与基地的距离为，于是我们取,于是作战半径 时的作战半径 当时，辅机的配合方式有：四送、四迎、三送一迎、三迎一送、两送两迎，且还要考虑辅机间相互加油情况。经过上面的分析得出，两送两迎中辅机间相互加油能使作战半径最大。我们设辅机送主机前进时，第一个辅机的加油点在距基地远处给主机和另一个辅机加油返回基地，此时主机的油箱和另一辅机的油箱是满的，第二个加油点距第一个加油点的距离是，第二辅机在给主机加满油后返回基地。在迎接主机返回基地时，第一个加油点与基地的距离为，第二个加油点与第一个加油点的距离为，于是解得，于是作战半径为，由此我们可以得知当时，作战半径已经达到，
14、可以预知当，作战半径。5.2 求的上下界及过程中与渐近关系式 求解的方案1从问题1得到经验告诉我们，我们确定加油的准则为：（1）辅机给其他飞机的加油量尽量多，这样使主机和后面工作的辅机的油量尽量多，使主机飞得更远，这样主机作战半径就加大了；（2）辅机在给其他飞机加完油后刚好能飞回去，这样既保证了辅机能飞回去又不至于造成油资源的浪费。 我们假设接或送的飞机数目为，在满足以上辅机加油准则下接或送的距离数值。其分析示意图如图1所示。图1 接送距离函数分析示意图经过计算分析，我们定义这个接送距离函数为，现在我们来证明接送距离函数为什么会是这个数值：第一个加油点与基地的距离为，它是第一架辅机给架辅机和1
15、架主机加油的地点，由准则可知，我们要保证被加油的主机和辅机的油箱都是满的，于是第一架辅机必须要补偿给其他飞机的总油量为，同时要保证辅机1能安全返回基地，这时辅机1的油箱就只需要保留能回去的油就可以了，相当于所有的飞机都在使用第一架辅机的油，于是第一个加油点到基地的距离为。我们推广到一般的情况，讨论第个加油点的情况，由准则可知，在第个加油点处的辅机已经把1个主机和个辅机的油箱加满，于是到达点的飞机只消耗了点与点之间距离消耗的油量，第点的辅机需要给辅机和1架主机加满，同时辅机也要安全返回基地，所以第点与点之间距离函数为，其中表示辅机的加油量、两个1分别表示给1架主机加满的油量和辅机从飞到所需要的油量，表示辅机需要返回基地所需要的油量，同样辅机前来迎接主机的计算方法也类似讨论。综上所述，我们定义接送的距离函数为 （1）我们再来推导作战半径与辅机数目的关系，设为主机前进服务的辅机数为，最后一架辅机返回基地所飞行的距离为，主机还能向
