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1、IIxII=(，2丄x2)2ii=1第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现ak0的情况，这时消去法无法进行；即kk时主元素akH0，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入kk误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。2、高斯消去法与U分解有什系？们解线性方程组有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将a分解为两个三角形矩阵相乘的因式
2、分解，其中一个为上三角矩阵U,个为下三角矩阵L。用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2,，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定?对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出
3、三种常用的向量范数。IIxII=maxIxI81in向量范数定义见p53，符合3个运算法则。正定性齐次性三角不等式设x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53，第5章p165）IIxII=工IxIii=17、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=（作）的三种范数IIAII,|A|2,IIAll,丨丨人儿与丨丨人|2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有IIAII1IIAII2IIAII从定义可知HAH更容易计算。i8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的?A|V(v，1,2,)为矩阵A的条件数
4、答：设A为非奇异阵，称数cond(A),A-iv当cond(A)1时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？(1) 矩阵行列式的值很小。(2) 矩阵的范数小。(3) 矩阵的范数大。(4) 矩阵的条件数小。(5) 矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有(1) 、(2)注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确：(1) 只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。答：错误，主元位置可能为0,导致无法计算结果。(2) 对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。(3) 一个单位下三角矩阵的逆仍为
5、单位下三角矩阵。答：正确。(4) 如果A非奇异，则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。(5) 如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。(6) 范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。(7) 奇异矩阵的范数一定是零。答：错误，|可以不为0。(8) 如果矩阵对称，则|人山=|人|。丄co答：根据范数的定义，正确。(9) 如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为0。(10) 在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。答：错误。对于病态方程
6、组，选主元对误差的降低没有影响。(11) |人|1=|如|。答：根据范数的定义，正确。(12) 若A是n,n的非奇异矩阵，则cond(A)cond(At)。答：正确。A是n,n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。cond(A)|AllA-i|根据条件数的定义有：/,cond(A-i)A-i!(A-i)-iA-iA|A|A-i|习题1、设A是对称阵且0，经过高斯消去法一步后，A约化为称矩阵。aaT1110AL2J，证明A2是对证明：aaa1112Inaaa设对称矩阵A=1222n2，则经过1次高斯校区法后，有aaaIn2nnnaaa11121ncaa0a12aaa22a12n2a12A（1）=1111
7、caa0aaaa2na12nna121-1111aaa11121ncaa0a12aa12a22a12n2a1n=1111caa0aaaan2a12nna1n1-1111所以aT=a.a112n2aaa12aa12a22a12n2a1n1111A=.2aaaaaan2a12nna1nL1111所以A2为对称矩阵。2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为A=(a)，其中A=(a)，jnjnA=(a)；2jn1证明：(1)A的对角元素a0(i=1,2,n)；(2)A是对称正定矩阵；ii2(1)依次取x=(0,0,0,1,0,0)t,i=1,2,n，则因为A是对称正定矩阵，i.i所以有a
8、=xtAx0。ii(2)A中的兀素满足aa-,(i,j=2,3,n)，又因为A是对称正疋2ijijaaaaa肛a-l1a（2）,ajiajiiiii11矩阵，满足aa,i,j1,2,n，所以a=aijjiijj即A是对称矩阵。23、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵(除第k列对角元以下元素外，L和单位阵1相同),mk+1,km求证当i,jk时，Lkn,kILI也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中I为初等置换ijkijij矩阵。4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。本题不推导。参见书上例题。P147页。5、设Uxd，其中U为三角矩阵。(1)
9、就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法(2) 计算解三角方程组Uxd的乘除法次数(3) 设U为非奇异矩阵，试推导求U-1的计算公式本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,.1时对应的求解公式。解法，略。6、证明：(1)如果A是对称正定矩阵，则A-i也是对称正定矩阵(2)如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成ALtL，其中L是具有正对角元的下三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组12x一3x+3x，151 23一18x+3xx=一151 23x+x+x，6V123并求出系数矩阵A的行列式的值1233_A，183111112
10、3315A1b，1831151116使用列主元消去法,有-123315_AIb，1831151116-183115-,123315111618311501753717310-6186_18311571731,061860175-3-18311571731,06186666600-217JA的行列式为-66方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解1x+1x+1x，9415263本题考查LU分解。解：14131211561145121511601613909575402-1000-丁-12-10000-12-10，b，000-12-100
11、00-1209、用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中A解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有（1）计算卩的递推公式i二c/b=1/2=0.51 ii=c/(bax)=1/(2，(，1)x(0.5)=2/32 2221=c/(bax)=，1/(2，(，1)x(，2/3)=，3/43 3332=c/(bax)=，1/(2，(，1)x(3/4)=4/54 4443(2) 解Ly=fy=f/b=1/2111y=(fay)/(ba卩)=(0，(，1)x(1/2)/(2，(，1)x(0.5)=1/32 221221y=(f-ay)/(b-a卩)=(0，(，1)x(1/3)/(2，(
12、，1)x(，2/3)=1/43 332332y=(fay)/(ba卩)=(0，(，1)x(1/4)/(2，(，1)x(3/4)=1/54 443443y=(fay)/(ba卩)=(0，(，1)x(1/5)/(2，(，1)x(，4/5)=1/65 554554(3) 解UX=yx=y=1/65 5x=y，x=1/5(4/5)x1/6=1/34445x=y，x=1/4(3/4)x1/3=1/23334x=y，x=1/3(2/3)x1/2=2/32223x=y，x=2(1/2)x2/3=5/6111210、用改进的平方根法解方程组-1-23本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P157239107x=,x=,x1929311、下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。123111126A=241，B=221，C=251546733161546LU分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯
