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1、高中数学方法讲解之反证法反证法从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思
2、维中的“排中律”。反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据“矛盾律，这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立。实施的具
3、体步骤是:第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬:将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论:说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多
4、”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向,从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.例1。05。北京设是定义在上的函数,若存在使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.对任意的上单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。求证：对任意的若，则为含峰区间;若则为含峰区间；【巧证】：设为的峰点，则由单峰函数定义可知在上单调递增，在上单调递减。当时，假设,则从而这与矛盾,所以,即是含峰区间.当时，假设，则,从而这与矛盾，所以，即是含峰区间。例2. 求证：函数f(x)=sin
5、x的最小正周期是2【巧证】：由诱导公式知，对任意xR，有sin（x2)=sinx，即2是函数sinx的一个周期下面再用反证法证明2是sinx的最小正周期,假设还有一个正数T也是sinx的周期，且0T2,则对任意xR都有sin（xT)=sinx特别地，对x=0,有sinT=sin0=0，而在(0,2）中，只有T=才使sinT=0，但不是sinx的周期，故sinx的最小正周期是2注:若直接证明比较困难,因适合0T2的正数有无穷多个，我们无法直接验证当“反设”中断言某些性质对于变量的一切值都成立时，显然对变量的一些特殊值也成立，故常赋予特殊值，便可得到一些等式或不等式,从而推得矛盾，反证原命题1x2
6、y,且1y2x两式相加，得2(xy）2（xy),即2xy，这与已知矛盾，故注：“集合M中至少有一个元素m不具有性质a”的否定是“集合M中所有元素都具有性质a反之亦对因为“集合M中至少有一个元素不具有性质a，它包含了“M中有一个元素不具有性质a、两个元素不具有性质a所有元素都不具有性质a等各种情形因此它的否定是“M中所有元素都具有性质a”如“三角形中至少有一个内角大于或等于60”的否定是“三角形中所有内角都小于60”注意“都不是的否定不是“都是，而是“不都是”,也即“至少有一个是如“a、b都不是零”的否定是“a,b中至少有一个是零”CBA60ABC180,这不可能例5。 88.全国理给定实数a,
7、a0且a1，设函数y （其中xR且x)，证明：.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴; .这个函数的图像关于直线yx成轴对称图像。【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。【巧证】： 设M(x,y)、M（x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则xx，假设直线MM平行于x轴，则必有yy，即，整理得a（xx）xxxx a1， 这与已知“a1”矛盾， 因此假设不对，即直线MM不平行于x轴。 由y得axyyx1，即(ay1）xy1,所以x，即原函数y的反函数为y，图像一致.由互为反函数的两个图像关于直线yx对称可以得到,函数y的图像关于直线yx成轴对称图像.
8、【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法,在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a1互相矛盾。第问中，对称问题使用反函数对称性进行研究,方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练.例6、已知a + b + c 0,ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a， b， c 0 【巧证】：设a 0, abc 0， bc 0 又由a + b + c 0， 则b + c = -a 0 ab + bc + ca = a（b + c) + bc 0 与题设矛盾 又：若a = 0,则与abc 0矛盾, 必有a 0 同理可证：b 0, c 0例7. 求证：如果一条直
9、线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交 【巧证】：如图1-8-6，设平面直线AB=A，下面用反证法证明AB与相交假设AB与不相交,则必须考虑两种情形:(1）若AB，过AB作平面，使=CD,则ABCDAB=A,A，且A，设=AB又，ABCD,于是在平面内过A点有两条直线AB与AB分别平行于直线CD，这和平行公理矛盾AB不能平行于平面相交于过点A的一条直线,但与已知矛盾，AB不在内由（1)、(2)可知，直线AB与平面相交注：用反证法证题时，如果欲证命题的反面只有一种情况，那么只要将这种情况驳倒即可,这种反证法又叫归谬法;如果结论的反面不仅有一种情况，就必须把所有的反面情况一一驳倒，
10、才能推断原结论成立，这种证法又叫穷举法巧练一：1. 已知函数f(x）在其定义域内是减函数，则方程f(x）0 _。A.至多一个实根 B。至少一个实根 C。一个实根 D。无实根2. 已知a0,1baba C. aba ab D. ab aba3. 已知l，a ，b ,若a、b为异面直线，则_。A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交C. a、b中至多有一条与l相交 D。 a、b都与l相交4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_。(97年全国理）A. 150种 B。 147种 C。 144种 D. 141种十三、反证法巧练一：【巧解】：1小题：从结论
11、入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；2小题：采用“特殊值法，取a1、b0.5，选D；3小题:从逐一假设选择项成立着手分析，选B；4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：CC436，选D。巧练二：设0 a, b， c 1，求证：(1 - a）b， (1 - b）c, （1 - c）a,不可能同时大于巧练二:【巧证】：设（1 - a）b ， (1 - b）c , (1 - c）a ，则三式相乘：ab （1 - a）b（1 - b)c(1 - c）a 又0 a， b， c 1 同理：， 以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b（1 - c)c 与矛盾原式成立巧练三:若
12、下列方程：x4ax4a30， x（a1)xa0, x2ax2a0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。巧练三：【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案.【巧解】： 设三个方程均无实根,则有：,解得,即a1。所以当a1或a时，三个方程至少有一个方程有实根.【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑,有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。第 1 页 共 10 页
