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1、IB 7. 4.2超几何分布话(教师独具内容)课程标准：通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际 问题.教学重点：超几何分布的概念，与超几何分布有关的概率计算.教学难点：用超几何分布解决实际问题.掌握HE XIN GAI NIAN ZHANG WO知识知识点一超几何分布般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽 取件(不放回)，用X表示抽取的件产品中的次品数，则X的分布列为P(X =c妁C价一化）=1011- c厂，k = m, m + 1, m + 2,，,.其中，N, MEN*, MWN, nWN, m = max(0, n-N + M, r=minn,
2、 M.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.知识点二超几何分布的随机变量的均值设随机变量x服从超几何分布，则E(X)=匝涉.眠距I拓展依据超几何分布的定义，可以知道超几何分布的模型是不放回抽样.同时在 总体中只有两类物品，它研究的对象必须明确，即是对哪一类物品的分布进行研 究的，不能搞错.如产品检验时，既可以研究合格品的超几何分布，也可以研究 不合格品的超几何分布.由于是从总数为N件的物品中任取件，这N件物品中包括合格品与不合格品，因此在得到不合格品的概率分布的过程中也得到了合格 品的概率分布.出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数
3、为随机变量X,则P(X=5) 二随机变量X,则P(X=5) 二,P(X5) 二答亲81648?解析 X=5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球, 则 P(X = 5) = clxX任x| = $.P(X5) = 1 - P(X = 3) - P(X = 4) 一 P(X = 5) = 1 -aXg)3X(I)。-c?x(|x|x|-=H，三、解答题9.已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，求取出的3件产品中次品数的均值和方差.解 用随机变量X表示取出的3件产品中的次品数，则X的所有可能取值是0,1,2,3,且有P(X=0)=2e 0.7265,P(X=D =酱料24
4、77,P(X= 2) =0.0250,P(X=3)= 1 -P(X=0)_P(X= 1) 一 P(X=2)e0.0008,所以X的分布列为X0123P0.72650.24770.02500.0008从而 E(X)R0X0.7265 + 1 X0.2477 + 2X0.0250 + 3X0.0008 = 0.3001 F3,D(X)(0 一 0.3)2X 0.7265 + (1 - 0.3)2X 0.2477 + (2 - 0.3)2X 0.0250 + (3 - 0.3)2X 0.00080.2648.10.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测,2每一件二等品通过检测
5、的概率为亍现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二寺口口 -随机选取1件产品，求能够通过检测的概率;(2) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X,求X的分布列；随机选取3件产品，求这3件产品都不能通过检测的概率.解(1)设随机选取一件产品，能够通过检测为事件A,则事件A等于事件“选取一等品通过检测或者是选取二等品通过检测”，则 P(A)=j + X- = 13故随机选取1件产品，能够通过检测的概率为侑.(2)由题可知X的可能取值为0,123.P(X=0)=箸蓦P(X=1)=警=寻，P(X = 2)=警萼,心=3)=箸泉故X的分布列为(3)设随机选取3件产品都不能通过检测为事件矿 则事件B
6、等于事件“随机X0123P1311301026选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，所以 职)=危印3=赤所以随机选取3件产品，这3件产品都不能通过检测的概率为击.B级：“四能”提升训练1-某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是40,50), 50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100.频率/组距求图中X的值；(1) 从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含 90分)的人数记为X,求X的分布列.解 (1)由(0.006X3 + 0.01 + 0.054 + x)X10=l,解得x = 0.018.
7、(2)分数在80,90), 90,100的人数分别是50X0.018X10 = 9,50 X 0.006 X 10 = 3.所以X的可能取值为0,1,2,其服从N=n, M=3, n = 2的超几何分布，则 p(X_o)冬尸(X_u)_况- 11CQ 9P(X=1) =祐=*c9c8 1P(X=2)= c?2 =妄所以随机变量X的分布列为X012691P7722222.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500元的顾客，可以 获得一次抽奖机会，有两种方案.方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同 的2个黑球，3个白球，顾客一次性摸出2个球，规定摸到2个黑球奖励50元， 1个黑球奖励2
8、0元，没有摸到黑球奖励15元.方案二：在抽奖的盒子中有除颜 色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将所 有黑球摸出则停止摸球，规定2次摸出所有黑球奖励50元，3次摸出所有黑球奖 励30元，4次摸出所有黑球奖励20元，5次摸出所有黑球奖励10元.(1) 记X为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量X的数学期望;(2) 若你是1名要抽奖的顾客，你会选择哪种方案进行抽奖？并说明理由.解(1)解法一：易知X服从超几何分布，且N=5, M=2, n = 2,故E(X) = 2X25 =&解法二：X的所有可能取值为0,1,2.P(X=2)=霆=讦3 P(x=l) =言亏
9、c9c4 3 P(x=o)=玄=而，133/.E(X) = 2X + 1 X- + 0X = 0.8.(2)方案一：记V为1名顾客选择方案一进行抽奖获得的奖金数额,则 V 可取 50,20,15.CG 1 p(y=50) = 3 =而，Cc 3P(“20)=有，CK4 3=15)=_=_133/.E(y)= 50X + 20X-+ 15X = 21.5.方案二：记Z为1名顾客选择方案二进行抽奖获得的奖金数额, 则 Z 可取 50,30,20,10.A； 1P(Z= 50) F = p，P(Z=3O) = aT2 = 5P(Z= 20)=耳忍=3,F(Z=10) =譬=1132/.E(Z) =
10、50X + 30X- + 20X + 10X- = 21.E(Y)E(Z),因此，我会选择方案一进行抽奖.1评价自测g1. 判一判(正确的打“ J”，错误的打“X”)(1) 超几何分布是一种常见的离散型随机变量的分布，利用它可以解决一类超 几何分布的问题.()(2) 在超几何分布中，只要知道参数N, M, n,就可以根据公式求出X取不同的x值时的概率RX = x),从而列出分布列.()(3) 从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何 分布.()答案(1)J (2)V (3)V2. 做一做(请把正确的答案写在横线上)某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少
11、有1名女 生当选的概率为.(2) 若随机变量X服从超几何分布，其中M = 4, N=9, = 2,则E(X) =.(3) 盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的,从盒中任取3个球来用, 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P0),则 F(X = 4)的值为.答案吉音(3)器形成HE XIN SU YANG XING CHENG -题型一超几何分布例1某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中 选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.(1) 求X的分布列；(2) 求至少有2名男生参加数学竞赛的概率.解(1)依题意，随机变量X服从超几何分布
12、，且N=10, M=6, = 4,c&ctmP(X = in) (m = 0,1,2,3,4).*=。)=寄=赤尸0=1)=箸=亲,del 3P(X=2)=布P(X=3)=箸始,P(X = 4)= = 土,.X的分布列为(2)解法一(直接法):X01234P143812103572114P(X3 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)3 8137= 7 + 21+l4 = 42-解法二(间接法)：由分布列的性质，得P(X32) = 1-P(X2)= l P(X = 0) + P(X=l)一1 一210十 35 广 42,超几何分布的求解步骤(1) 辨模型：结合实
13、际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优、劣”等，或可转化为明显的两部分.具 有该特征的概率模型为超几何分布模型.C牝角,算概率：可以直接借助公式P(X =k)= 割 求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数虬N, ，上的含义.(2) 列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来.跟踪训练1在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对 人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心 理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结 果来评价两种心理暗小的作用.现有6
14、名男志愿者Ai, Ai, A3, A4, A5, A6和4 名女志愿者&,位，氏,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受 乙种心理暗示.(1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含而但不包含的概率；用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.解(1)设“接受甲种心理暗示的志愿者中包含面但不包含8”为事件C& 5则 P(M) = C = T8- (2)由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)= =法,aa 5P(X=1)=布=互，P(X=2) =警号,P(X=3)=箸始,因此X的分布列为题型二超几何分布的均值X01234P1510514221212142例2 个口袋内有(乃3)个大小相同的球，其中有3个红球和n-3个白3球.已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是；不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数X的均值项X).解白球个数X服从N=5, M = 2, = 3的超几何分布,则 E(X)=则 E(X)=nMN =3X25_6=5-超几何分布的方差公式较为烦琐，故一般不直接考查，均值公式比较常用, 要注意找准参数N, M和.跟踪训练2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道.若甲从中随机抽取5道题目，其中判断题的数目为X,求X的均值.解 从1()道不同的题目中
