《最新 人教版数学高中选修4.2用数学归纳法证明不等式练习及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新 人教版数学高中选修4.2用数学归纳法证明不等式练习及答案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、最新精品资料最新精品资料最新精品资料42用数学归纳法证明不等式1了解数学归纳法的原理及其使用范围2会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式1用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)(n1，nN*)思考1填空已知x1，且x0，nN*，n2.求证：(1x)n1nx.证明：(1)当n_时，左边(1x)212xx2，右边12x，因x20，则原不等式成立 (在这里，一定要强调之所以左边右边，关键在于x20是由已知条件x0获得的，为下面证明做铺垫)(2)假设nk(k_)时，不等式成立，即_当nk1时，因为x1，所以1x0，于是左边(1x)k1(1x)k(1x)(1x)(1kx)1(k1)
2、xkx2；右边1(k1)x.因为_，所以左边右边，即(1x)k11(k1)x.这就是说，原不等式在nk1时也成立根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立答案: 22，kN*(1x)k1kxkx202用数学归纳法证明不等式的关键是：假设在nk时命题成立，再证明nk1时命题也成立，这也是学好数学归纳法的重中之重当然第一步是证明的基础，也是不能少的思考2用数学归纳法证明：11)时，第一步即证明不等式_答案: 1n2成立的条件是()AnN* Bn4Cn4 Dn1或n4答案: D6对于不等式n1(nN)；某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN)时，
3、不等式成立，即k1.当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立上述不等式成立由此可知()A过程全部正确Bn1时的验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：证明过程未使用归纳假设答案：D7设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出的一般结论为()Af(2n) Bf(n2)Cf(2n) D以上都不对解析：f(2)，f(4)f(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25)，所以推测f(2n).答案：C8用数学归纳法证明“对于任意x0和正整数n，都有xnxn2xn4n1”，需验证的使命
4、题成立的最小正整数值n应满足()An1 Bn2Cn1，2 D以上答案均不正确答案：A9已知f(n)1(nN)，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2k1)f(2k)_解析：f(2k1)1，f(2k)1，f(2k1)f(2k).答案：.10用数学归纳法证明：12(其中nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即12，那么nk1时，122.所以当nk1时，不等式也成立根据(1)和(2)可知，不等式对任何nN*都成立11设数列an满足an1anan1，nN*.(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式；(2
5、)当a13时，证明对所有n1，有：ann2；.解析：(1)由a12，得a23，a34，a45，猜想ann1.(2)当n1时，a1312，不等式成立假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即akk2，当nk1时，ak1akak1ak(akk)1(k2)(k2k)12k5k3.即ak1(k1)2，因此不等式成立ann2对于nN*都成立由an1anan1及(1)知：当k2时，aka(k1)ak11ak1(ak1k1)1ak1(k12k1)12ak11，ak12(ak11)即2.ak12k1(a11)，(k2)，.12证明：1(nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边即命题成立(2)假
6、设nk(k1，kN*)时，命题成立，即：1.则当nk1时，要证明1，只要证.0，成立，即1成立nk1时，命题成立，根据(1)、(2)可知，对一切nN*命题都成立13等差数列an中，a11，前n项和为Sn，等比数列bn各项均为正数，b12，且S2b27，S4b32.(1)求an与bn；(2)设cn，Tnc1c2c3cn，求证：Tn(nN*)(1)解析：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由题知：S2b27，S4b32，d2q5，3dq210，解得q2或q8(舍去)，d1；an1(n1)n，bn2n.(2)证明：cn，cn.Tn.下面用数学归纳法证明Tn对一切正整数成立(1)当n1时
7、，T1，命题成立(2)假设当nk时命题成立，Tk，则当nk1时，Tk1Tk，这就是说当nk1时命题成立，综上所述，原命题成立14函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4，5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标证明：2xnxn13.解析：(1)因为f(4)42835，故点P(4，5)在函数f(x)的图象上，故由所给出的两点P(4，5)，Qn(xn，f(xn)，可知，直线PQn斜率一定存在，故有直线PQn的直线方程为y5(x4)，令y0，可求得5(x4)x4x.所以xn1.下面用数学归纳法证明2xn3.当n1时，x12，满足2x13，假设nk时，2
8、xk3成立，则当nk1时，xk14，由2xk34xk251243即2xk13也成立，综上可知2xn3对任意正整数恒成立下面证明xnxn1，由xn1xnxn.由2xn31xn1200即xnxn1，综上可知2xnxn13恒成立1用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)，要注意观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的2前面已学过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数学归纳法证明不等式，且主要解决的是无限的问题，因而难度更大一些但仔细研究，数学归纳法关键是由nk到nk1的过渡，也是学好用数学归纳法证不等式的重中之重问题(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等式，因此以上几种方法均要灵活地运用有个别较复杂的问题，第二个步骤再利用数学归纳法(2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设当nk时成立，再证当nk1时成立，实质上，这就是第二数学归纳法最新精品资料
