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1、2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1.【答案】A【解析】本题考查集合的运算及简单不等式的求解.由,得,所以,故,故选A.2.【答案】B【解析】本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率,故选B.3.【答案】B【解析】本题考查复数的计算和命题真假的判断.对于命题,设,由,得,则成立,故命题正确；对于命题,设,由,得,则或,复数可能为实数或纯虚数,故命题错误；对于命题,设,由,得,不一定有,故命题错误；对于命题,设,则由,得,所以成立,故命题正
2、确.故选B.4.【答案】C【解析】本题考查等差数列基本量的计算与性质的综合应用.等差数列中,则,又,所以,得,故选C.5.【答案】D【解析】本题考查利用函数的性质求解不等式.已知函数在上为单调递减函数,且为奇函数,则,所以原不等式可化为,则,即,故选D.6.【答案】C【解析】本题考查二项式定理中项的系数问题.对于,若要得到项,可以在中选取1,此时中要选取含的项,则系数为；当在中选取时,中要选取含的项,即系数为,所以,展开式中项的系数为,故选C.7.【答案】B【解析】本题考查立体几何中的三视图问题.由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体由上方的三棱锥和下方的三棱柱构成,其中面和面是梯形,则梯形
3、的面积之和为.故选B.8.【答案】D【解析】本题考查程序框图问题.本题求解的是满足的最小偶数,可判断出循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件要输出结果,所以判断语句应为,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为,故选D.9.【答案】D【解析】本题考查三角函数的诱导公式及图象变换.首先利用诱导公式化异名为同名.,由的图象得到的图象,需将曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变；由的图象得到的图象,需将的图象上的各点向左平移个单位长度,故选D.10.【答案】A【解析】如图所示,设直线的倾斜角为,过,分别作准线的垂线,垂足为,则,过点向引垂线,得,则,同理,则,即,因与垂
4、直,故直线的倾斜角为或,则,则,则易知的最小值为16.故选A.11.【答案】D【解析】由,可设,因为,为正数,所以,因为,所以；因为,所以,所以.分别作出,的图像,如图.则,故选D.12.【答案】A【解析】本题考查了等比数列求和、不等式以及逻辑推理能力.不妨设(其中、,),则有,因为,所以.由等比数列的前项和公式可得.因为,所以,所以,即因为,所以,故,因为,所以,故.所以,从而有,因为,所以.当时,不合题意；当时,满足题意,故所求的最小值为440.二、填空题13.【答案】【解析】本题考查向量数量积的计算.由题意知,则.所以.14.【答案】【解析】本题考查利用线性规划求解最值.由约束条件作出可
5、行域,如图阴影部分所示.平移直线可知,目标函数在点处取最小值,又由解得即,所以.15.【答案】【解析】本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.不妨设点、在渐近线上,如图,为等边三角形,且,则点到渐近线的距离为,又将变形为一般形式为,则到渐近线的距离,所以,即,所以双曲线离心率.16.【答案】【解析】由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示.连接并延长交于,连接、.则平面.令,则,得,.则,令,则,则当时,单调递增,当时,单调递减,所以当时,体积取最大值,为.三、解答题17.【答案】解：(1)由题设得,即.由正弦定理得.故.(2)由题设及(1)得,即.所以,故.由题设得,即.由余弦定理得,即,得.故的
6、周长为.【解析】本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用.18.【答案】解：(1)由已知,得,.由于,故,从而平面.又平面,所以平面平面.(2)在平面内作,垂足为.由(1)可知,平面,故,可得平面.以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.由(1)及已知可得所以设是平面的法向量,则即可取.设是平面的法向量,则即可取.则.所以二面角的余弦值为.【解析】本题考查了立体几何中面面垂直的证明和二面角问题.19.【答案】(1)抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在之外的概率为0.002 6,故,因此.的数学期望为.(2)(i)如
7、果生产状态正常,一个零件尺寸在之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由,得的估计值为的估计值为,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除之外的数据9.22,剩下数据的平均数为,因此的估计值为10.02.,剔除之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为,因此的估计值为.【解析】本题考查了统计与概率中的二项分布和正态分布的性质及应用
8、.20.【答案】(1)由于两点关于轴对称,故由题设知经过两点.又由知,不经过点,所以点在上.因此解得故的方程为.(2)设直线与直线的斜率分别为.如果与轴垂直,设,由题设知,且,可得的坐标分别为.则,得,不符合题设.从而可设.将代入得.由题设可知.设,则.而,由题设,故.即.解得.当且仅当时,于是,即,所以过定点.【解析】解析本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题.21.【答案】(1)的定义域为,.(i)若,则,所以在单调递减.(ii)若,则由的.当时,；当时,所以在单调递减,在单调递增.(2)(i)若,由(1)知,至多有一个零点.(ii)若,由(1)知,当时,取得最小值
9、,最小值为.当时,由于,故只有一个零点；当时,由于,即,故没有零点；当时,即.又,故在有一个零点.设正整数满足,则.由于,因此在有一个零点.综上,的取值范围为.【解析】本题考查了利用导数讨论函数的单调性和函数的零点问题.22.【答案】解：(1)曲线的普通方程为.当时,直线的普通方程为.由解得或从而与的交点坐标为.(2)直线的普通方程为,故上的点到的距离为.当时,的最大值为,由题设得,所以；当时,的最大值为,由题设得,所以.综上,或.【解析】本题考查参数方程的应用.23.【答案】解：(1)当时,不等式等价于. 当时,式化为,无解；当时,式化为,从而；当时,式化为,从而.所以的解集为.(2)当时,.所以的解集包含,等价于当时.又在的最小值必为与之一,所以且,得.所以的取值范围为.【解析】本题考查参数方程的应用.2/13
