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1、泰勒公式的推导思路弓I：已知e 0=1，求如f (x )= e 0.1此类的函数值是比较困难的，那么是否有一种比较简 单的方法求解呢？泰勒公式正式为此而出现的。在学习微分的时候我们曾经使用过，当x比接近于x时f(x) H f(x )+ f(x )(x - x )，0 0 0 0 这样用一次多项式来表达函数 f(x) 的值，在计算时就相对简单了。但是其精度就比较大， 那么如何构造一个多项式使其计算比较简单，且精度又很高呢？设想如果将该式的右边变成 n 次多项式会不会使其精度得到明显的提高呢？这就是泰勒公式要解决的问题。从f(x) H f(x )+ f(x ) (x - x )该式出发，此为关于x
2、的一次多项式，设 0 0 0p (x) = f(x )+ f(x )(x - x )，1 0 0 0当 x=x 时， f(x) 与 p (x) 有以下的关系：01p (x )= f(x ) ；1 0 0p (x )=f (x )+ f(x ) (x - x ) =0+ f(x 丿x 1=f(x 丿1 0 0 0 00 0即函数值和 1 阶导数均相等现在我们使用n次多项式来构筑f(x)的表达式设 f(x) h f(x )+ a (x - x )+a (x - x )2 + a (x - x 丿，01020n 0令 p (x)= f(x )+ a (x - x )+a (x - x )2 + a
3、(x - x )nn01020n0(很多人会问：你怎么就知道用 n 次方来组合呢？我感觉是首先我们推导这个过程是看 到其上面一次多项式出现p (x ) =f(x )和p (x )=f(x丿也就是说组合的过程要考虑到函1 0 0 1 0 0数的导数，因为 n 次函数才能有 n+1 阶导数。其次指数 n 采用的是自然数的排列而不是奇 数或者是等比数列等等的方式呢？因为这样排列在求导数时的计算比较简单)现在的a ,aa均不知道，怎么求呢？既然在一次项中p (x )=f(x )，那么当x=x12 n1000时f (x )和p (x )也应该有这样类似的效果，于是得出如下过程0 n 0p (x )= f
4、 ( x )n 0 0p (x)=( f(x )+ a (x - x )+a (x - x )2 + a (x - x )3 + a (x - x )n) n0102030n0=0 + a x 1+2 a (x - x )+3 a (x - x )3-1 - +n a (x - x )n-112030n0v x = x0： p (x )= a =f(x )n 010p (x)=(0 + a x 1+2 a (x - x )+3 a (x - x )3-1 +n a (x - x )n-1)n12030n0=0 + 0+2 a x 1+3 x 2a (x - x )+ +n x ( n-1) a
5、 (x - x )n-22 30n0v x=x0/. p (x )=2 a =f (x )n 020p (x)=(0 + 0+2 a x 1+3 x 2a (x - x )+ +n x ( n-1) a (x - x )n-2)n230n0=0 + 0+ 0+3 x 2a + +n x( n-1) x( n-2) a (x - x )n-33 n0v x=x0p(x )=3 x 2a =f (x )n 030p (n) (x )=n !a =f (n) (x )n 0n0即：p (x )= f ( x )n 00p (x )= a =f (x )n 010p (x )=2 a = f (x )
6、n 020p (x )=3 x 2a = f (x )n 030p (n) (x )=n! a = f (n) (x )n 0n0求得：a = f (x )101a = f(x )2 2 01a = f(x )33x 201a = f(n) (x )n n! 0则1 1 1p (x)= fx )+ f(x)(x- x) +f(x)(x - x 丿2+ f(x)(x- x丿3+ f(n)(xn 0 0 0 2 0 0 3 x 2 0 0 n! 0现在多项式已经构造完成，但是f (x)二p (x)中间仍然为约等，也就是还不能完全相等, n那么他们之间的差值是多少呢？ fx) = p (x)+ R (x),其中R (x)即为他们之间的差值。 nnn根据拉格朗日中值定理可知：f (n+1) (? )(X-X)n+1f (x)-f(x)=f ( )(x-x ); gw (x,x ),于是有 R (x) =00 0 0n(n +1)!接下来如果能证明当x T X时R (x) = fM ( )(x-x 0丹T 0就能证明0 n(n +1)!f(x) = p (x) ，该步骤用的是柯西中值定理和罗比达法则，不在一一赘述 n
