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1、第4课 椭圆的几何性质教学目标1. 掌握椭圆的简单的几何性质；2. 感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；3. 能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题.教学重点椭圆的几何性质及其应用教学过程一、建构数学椭圆的几何性质1. 范围由方程+ =1(ab0)可知，椭圆上的点的坐标(x, y)满足 =11，即x2a2,故|x|a .同理可得|y|b .这说明椭圆位于x=a和y=b所围成的矩形内.（基本矩形）注意：画椭圆先画基本矩形！2. 对称性在椭圆的标准方程中，把x换成-x,或把y换成-y,或同时把x,y分别换成-x,-y时方程不变.所以椭圆关于y轴，x轴和原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，
2、原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3. 顶点在椭圆的标准方程中，令x=0,得y=b,说明点B1(0,-b), B2(0, b)是椭圆与y轴的两个交点.同理，点A1(-a, 0), A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点. 这四个点是椭圆与对称轴的交点，成为椭圆的顶点.线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。思考：已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2，怎样确定椭圆的焦点位置？4. 离心率我们把焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.用e表示.即： e . 且e( 0, 1 )分析离心率是用来刻画椭圆扁平程度的依据的
3、道理.(略)对于焦点在x轴上的椭圆的性质，可类比研究.二、数学应用例1 求椭圆+=1的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.例2 设P为椭圆+=1(ab0)上任意一点，F1为其左焦点，求|PF1|的最大值和最小值.(课本28页EX.3变式) 在椭圆+=1上求一点，使这点与两焦点的连线互相垂直.设P(x1,y1)，则|PF1|a+x1= a+ex1;设P(x1,y1),则(a+x1)2(a-x1)2=4c2, (,)练习.椭圆+ =1的焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上运动，求证：当点P横坐标为0时，F1P F2最大。当F1P F2为钝角时,点P横坐标的变化范围为 .(
4、-,)yxABF1F2ODC例3 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点）距地面439km,远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程.例4 设动点P到点F(1,0)的距离与到直线x=9的距离的比为,求点P的轨迹方程.(课本28页NO5)答案： +=1说明：本题的椭圆中，a=3,b=2,c=1, 从而，e=, F(1,0)恰为椭圆的右焦点，而直线x=9可写成x= ,这条直线称为椭圆的(相应于右焦点的右)准线。本题说明，椭圆上的点到焦点距离与到相
5、应的准线距离之比为离心率。一般地，椭圆+ =1(ab0)准线方程为x=.椭圆+ =1(ab0)准线方程为y=.马上将知道，当动点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e（0e1）时，动点的轨迹为椭圆.例5 根据下列条件求出椭圆的标准方程：长轴是短轴长的2倍，一条准线方程是x=-4;以短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆的最短距离为.答案：+=1；+=1或+=1OPMyxFM例6 已知椭圆+=1内有一点P(1,-1)，F是右焦点，在椭圆上求一点M，使|MP|+2|MF|最小.例7 已知椭圆+y2 =1, 求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程;过A(2,1)引椭圆的割线 ,
6、求截得的弦的中点的轨迹方程;过点P( , )且被P平分的弦所在的直线方程. 解:设弦的两端点为M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x, y)则有 由-得(x2- x1) (x2+x1)+2(y2- y1) (y2+y1)=0 由,得=- , 由得所求轨迹方程为x+4y=0 (椭圆内部分). 由=, 又=- ,- = ,所求轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分). 由题意代入得=-,所求的直线方程为y-=-(x-)即2x+4y-3=0 .例8 若椭圆3x2+4y2=12上有不同的两点关于直线y=4x+m对称，求m的取值范围.解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)
7、线段AB的中点P(x0,y0).则有 ,得，3(x1-x2) (x1+x2)+4(y1-y2) (y1+y2)=0,代入得=- .又由的中垂线y=4x+m知，kAB= =-,y0=3x0代入y0=4x0+m得， ,又P(-m,-3m)在椭圆内部，3(-m)2+4(-3m)212.-m0 即 12 t 239 且 (x1+x2)= t (y1+y2)= (-x1 +t+-x2 +t)= t(x1+x2)tAB的中点(x1+x2), (y1+y2)即(t, t)在直线y=4x+m上，t4t +m即tm 代入得12(m)239解得m2,即-mb0)的第一象限内的弧AB上的点，当四边形OAPB面积最大
8、时，P点的坐标是 。设P(acosq,bsinq),且0qb0)上的任意一点(非短轴端点)，若M与短轴的两个端点B,B的连线分别交x轴与P,Q,求证：|OP|OQ|为定值.设M (acosq,bsinq),qkp+，例12 在椭圆+=1上求一点P,使它到定点Q(0,1)的距离最大.例13 已知椭圆+=1的上顶点为C,右顶点为A，点B,D分别是椭圆上第一象限和非第一象限的动点，求四边形ABCD面积的最大值.（两种方法：参数法，平行线间距离）作业讲评：例16设椭圆C: +=1(ab0)的长轴两端点为A,A,若椭圆上存在一点M，使AMA120，试求椭圆的离心率e的取值范围.分析：本题即为存在椭圆与A
9、MA外接圆C有交点。xyMAACOD解：根据对称性不妨设M在x轴上方.设AMA外接圆C与y轴交点为D,则ADA120，ACD为正三角形。C： x2+(y+)2=与椭圆方程联立，消去x得 (y+)2-a2y2=a2b2 即：a b2y=c2y2,y=,yb, 即：b,4 a2b23 c4, 即：4 a2(a2- c2)3 c44(1-e2) 3 e4, e2, e ，1)练习：1. 求下列椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标：16x2+25y2=400 4x2+y2=162. 根据下列条件，求椭圆的方程：中心在原点，焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别为8和6；中心在原点，一个焦点的坐标为(
10、0,5),短轴长为4；对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率为0.6;中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1；3. 下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？ 4x2+9y2=36 +=1 9x2+4y2=36 +=14. 若椭圆+ =1(ab0)过点（3，2），离心率为,求a, b的值.5.设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，B1FB60，求椭圆的离心率 .习题：1. 讨论下列椭圆的范围，并描点画出图形： +=1 4x2+y2=12. 判断下列方程所表示的曲线是否关于x轴, y轴或原点对称：3x2+8y2=20 x21x22y=0 x22xy+y=03. 已知椭
11、圆的方程为+=1,求满足下列条件的k的取值范围:椭圆的焦点在x轴上;椭圆的焦点在y轴上.4. 已知椭圆中心在原点，长轴在坐标轴上，离心率为，短轴长为4，求椭圆的方程.5. 已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离心率.6已知点M与椭圆+=1的左焦点和右焦点的距离之比为2:3，求点M的轨迹方程.7.如图，A,A,B分别是椭圆顶点，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为焦点F,且ABOP,F A=-,求椭圆的方程.8.把矩形的各边n等份，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？B1BAA1OxyQm(a-,2b)Pm(a,)M(x,y)补充习题：1.椭圆的右焦
12、点将长轴分成3:2两段，则椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D. 2.椭圆的两焦点和中心将两准线间的距离四等份，则一焦点与它的短轴两端点连线的夹角是 ( )A.45 B.60 C.90 D.1203.椭圆+ =1的准线平行于x轴，则 ( )A. 0m B. m且m1 D. m0且m1 4.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=,一个顶点为(0, 5),则适合上述条件的椭圆有 ( )A.0 B.1 C.2 D.45.椭圆+ =1的离心率e=,则k= .6.椭圆+ =1上有一点，它到左准线的距离等于则P到右焦点的距离为 .7.直线y=kx+1与椭圆+ =1恒有交点，则m的取值范围为 .8.已知椭圆的两个焦点为F1(-2,0), (2,0),过F1且不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于M,N点,如果MN F2 的周长为12，求这个椭圆的方程.
