《高等数学备课资料：第七章 微分方程 03 第三节 一阶线性微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学备课资料：第七章 微分方程 03 第三节 一阶线性微分方程（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 一阶线性微分方程分布图示 一阶线性微分方程及其解法 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 伯努利方程 例8 例9 例10 例11 内容小结 课堂练习 习题73 返回内容要点一、一阶线性微分方程形如 (3.1)的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数、是某一区间上的连续函数. 当方程(3.1)成为 (3.2)这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.方程(3.2)的通解 (3.3)其中为任意常数.求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数变易为待定函数，并设一阶非齐次方程通解为 一阶非齐次线性方程(
2、3.1)的通解为 (3.5) 二、伯努利方程：形如 (3.7)的方程称为伯努利方程，其中为常数，且. 伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以，得或 于是，令，就得到关于变量的一阶线性方程.利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解例题选讲一阶线性微分方程例1（E01）求方程的通解.解 于是所求通解为例2（E02）求方程的通解.解 这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解.由用常数变易法,把换成即令则有代入所给非齐次方程得两端积分得回代即得所求方程的通解为例3 求下列微分方程满足所给初
3、始条件的特解. 解 将方程标准化为于是由初始条件得故所求特解为例4 求解方程 是的已知函数.解 原方程实际上是标准的线性方程，其中直接代入通解公式，得通解例5（E03）求方程的通解.解 当将看作的函数时，方程变为这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将看作的函数，方程改写为则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为分离变量，并积分得即其中为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为代入原方程,得积分得 故原方程的通解为，其中为任意常数.例6（E04）在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L的汽油，其中包含100g的添加剂. 为冬季准备，每升含2g添加剂的石油以40L/min的速度注入存储
4、罐. 充分混合的溶液以45L/min的速度泵出. 在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？解 令是在时刻罐中的添加剂的总量. 易知. 在时刻罐中的溶液的总量 因此，添加剂流出的速率为 添加剂流入的速率，得到微分方程 即 于是，所求通解为由确定C，得 ，故初值问题的解是，所以注入开始后20分钟时的添加剂总量是 g.注：液体溶液中（或散布在气体中）的一种化学品流入装有液体（或气体）的容器中，容器中可能还装有一定量的溶解了的该化学品. 把混合物搅拌均匀并以一个已知的速率流出容器. 在这个过程中，知道在任何时刻容器中的该化学品的浓度往往是重要的. 描述这个过程的微分方程用下列公式表示：容器中总量的
5、变化率=化学品进入的速率化学品离开的速率.例7 如图(见系统演示)所示, 平行于轴的动直线被曲线与截下的线段之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线解 两边求导得解此微分方程得由得故所求曲线为 例8 求的通解.解 两端除以得令得解得故所求通解为伯努利方程例9（E05）求方程的通解.解 以除方程的两端,得即 令则上述方程变为 解此线性微分方程得 以代得所求通解为 例10（E06） 求方程的通解.解 令则于是得到伯努利方程令上式即变为一阶线性方程其通解为 回代原变量，即得到题设方程的通解例11（E07）求解微分方程 解 令则利用分离变量法解得 将代回，得所求通解为 课堂练习1. 求微分方程的通解.2
6、. 设函数可微且满足关系式求.雅各布.伯努利（Jacob Bermoulli，16541705)伯努利瑞士数学、力学、天文学家。1654年12月27日生于瑞士巴塞尔；1705年8月16日卒于巴塞尔。雅各布.伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位药商，1662年移居巴塞尔。他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官。他的母亲是市议员兼银行家的女儿。雅格布在1684年一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉，伯努得是艺术家，巴塞尔市议会的议员和艺术行会会长。雅格布毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位。这里的艺术是指“自由艺术”，它包括算术、几何、天文学、数理音乐的基础，以及方法
7、、修辞和雄辩术等七大门类。遵照他父亲的愿望，他又于1676年得硕士学位。同时他对数学有着浓厚的兴趣，但是他在数学上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭教师。从1677年起，他开始在这里写内容丰富的沉思录。1678年雅格布进行了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系。然后他又在法国度过了两年时光，这期间他开始研究数学问题。起初他还不知道牛顿和莱布尼兹的工作，他首先熟悉了笛卡尔的几何学、活利斯的无穷的算术以及巴罗的几何学讲义。他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作。1681-1682年间，他做了第二次学习旅行，接
8、触了许多数学家和科学家。通过访问和阅读文献，丰富了他的知识，拓宽了个人的兴趣。这次旅行，他在科学上的直接收获就是发表了还不够完备的有关慧星的理论以及受到人们高度评价的重力理论。回到巴塞尔后，从1683年起，雅格布做了一些关于科技问题的文章，并且也继续研究数学著作。1687年，雅格布在教师学报上发表了他的“用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分方法”。1684年之后，雅格布转向诡辩逻辑的研究。1685年出版了他最早的关于概率论的文章。由于受到活利斯以及巴罗的涉及到数学、光学、天文学的那些资料的影响，他又转向了微分几何学。在这同时，他的弟弟约翰.伯努利一直跟其学习数学。1687年雅格布成为巴塞尔科学院的国外院士，直到1705年去世。在这段时间里，他一直与莱布尼兹保持着通信联系。1699年，雅格布被选为巴黎科学院的国外院士，1701年被柏林科学协会（即后来的柏林科学院）接受为会员雅各布.伯努利是在17-18世纪期间，欧洲大陆在数学方面做过特殊贡献的伯努利家庭的重要成员之一，他在数学上的贡献涉及微积分、解析几何、概率论以及变分法等领域。
