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1、全国第七届研究生数学建模竞赛题 目 神经元的形态分类和识别摘 要：本文根据已知神经元的空间形态数据，提取出不同类型神经元的几何形态特征，再利用这些特征，建立神经元形态分类模型。根据所建立的形态分类模型，对神经元进行分类识别与分析。针对问题1，根据已知神经元的空间形态数据，提取出不同类型神经元的几何形态特征。建立起基于改进的SVM决策树分类模型，能根据各类神经元的可分离程度，依次将神经元的类别分割出来，使可能出现的错分尽可能地远离树根，从而大幅地提高分类的正确率。针对问题2，利用问题1的模型判断附录B中 20个神经元的类型，发现仅将神经元分成5类是不够合理的，需要定义新的神经元类别。针对问题3，
2、建立一个基于SOM(Self-Organizing Map)聚类分析模型，并用于解决神经元的分类问题。与问题1模型相比，该模型可以解决没有确定神经元类别个数的分类问题。SOM聚类分析还能实现高维数据模式的低维可视化，使得聚类结果具有可读性。并且通过利用SOM聚类分析，我们提取出了能给生物学家命名神经元提供参考的几何特征。针对问题4，应用问题3的模型，判断出不同动物神经系统中同一类神经元的形态特征存在的区别。针对问题5，通过构造出一个神经元随机生长模型，从而较为准确地预测神经元形态的生长变化。并且在生长变化过程中，问题3模型得到的8个重要特征并未发生明显变化。关键字：神经元；几何形态；SVM决策
3、树；SOM聚类分析目录1 问题重述32 问题分析33 模型假设44 模型的建立与求解44.1问题1模型与求解44.1.1神经元几何特征的定义44.1.2神经元几何特征的选取54.1.3建立改进的SVM决策树分类模型64.1.4问题1模型的结论84.2问题2求解与分析84.2.1问题2求解84.2.2问题2结果分析与总结104.3问题3模型与求解104.3.1问题3分析104.3.2建立基于SOM聚类分析的分类模型104.3.3问题3模型求解124.3.4问题3结果分析134.3.5问题3模型总结144.4问题4求解与分析144.4.1问题4求解144.4.2问题4结果分析144.5问题5模型与
4、求解164.5.1问题5分析164.5.2问题5模型建立164.5.3问题5模型求解174.5.4问题5模型总结185 模型的评价185.1模型的优点185.2模型的不足186 参考文献191 问题重述为了建立神经信息学数据库的共同标准，并进行多学科整合分析大量数据，加速人类对脑的认识，人们提出了人类脑计划（Human Brain Project, HBP）。而神经元的空间几何形态的研究是人类脑计划中一个重要项目。神经元的几何形态特征主要包括神经元的空间构象，具体包含接受信息的树突，处理信息的胞体和传出信息的轴突三部分结构。由于树突，轴突的的生长变化，神经元的几何形态千变万化。对神经元特性的认
5、识，最基本问题是神经元的分类。目前，关于神经元的简单分类法已经有很多。但由于神经元的几何形态的复杂性，且不同组织位置，神经元的类别和形态，可能变化也很大。如何识别区分不同类别的神经元，这个问题目前科学上仍没有解决。本问题只考虑神经元的几何形态，研究如何利用神经元的空间几何特征，通过数学建模给出神经元的一个空间形态分类方法，将神经元根据几何形态比较准确地分类识别。根据附录以及NeuroMorpho.Org提供的大量神经元几何形态数据，完成以下任务：1、利用附录A中和附录C样本神经元的空间几何数据，寻找出附录C中5类神经元的几何特征（中间神经元可以又细分3类），给出一个神经元空间形态分类的方法。2
6、、判断附录B的 20个神经元类型。在给出的数据中，分析是否需要引入或定义新的神经元名称。3、提出一个神经元分类方法，将所有神经元按几何特征分类，并给生物学家提供神经元命名的一些建议。4、按照所建立的神经元形态分类方法，判断在不同动物神经系统中同一类神经元的形态特征的区别。5、神经元的实际形态是随着时间的流逝，树突和轴突不断地生长而发生变化的。对神经元形态的生长变化进行预测，并分析这些形态变化对所选取几何形态特征的影响。2 问题分析根据问题的描述可知，我们需要解决一个神经元的形态分类和识别问题，具体如下：1、一个神经元根据形态空间结构可以离散为很多房室，这些房室用A.SWC 格式文件描述。根据这
7、些空间几何数据，如何定义和提取一个合理的几何特征，是首先要解决的问题。这些几何特征应当尽可能地刻画神经元的整体或局部的形态空间结构。2、由于大多数所定义的几何特征相关性强，存在冗余现象，需要我们分析各种几何特征的相关性，并选择出相对独立的几何特征用于分类。3、建立一个能将神经元形态分成5类的分类器模型，且该模型要适用于样本和属性相对较少的条件。4、建立一个神经元形态分类模型，分析神经元中各个几何特征对其所属类别的影响程度，并由此给生物学家为神经元的命名提出建议。5、分析不同动物神经系统中同一类神经元的形态特征存在差别对所建立模型的影响。6、提出一种预测模型，对神经元形态的生长变化进行预测。并分
8、析这些形态变化对所选取几何形态特征的影响。3 模型假设根据已知问题的描述，在建立模型之前，我们提出以下假设：1、特征选取只考虑神经元的几何形态。2、房室的类型，只在计算几何特征时使用，不作为本模型的一个特征。3、利用房室对神经元空间几何形态进行描述是准确的。4、同一类神经元在一定时期，其几何形态结构保持相对稳定。4 模型的建立与求解4.1问题1模型与求解4.1.1神经元几何特征的定义根据神经元的空间几何数据，可以定义许多不同的神经元几何特征。例如L-measure 软件可以计算40多种几何特征的值1。本文根据特征所刻画神经元形态结构的部分，将几何特征分为整体特征与局部特征两类。如胞体表面积、干
9、的数目、树干锥度和分支角度为神经元的局部几何特征，而宽度、高度、深度和表面积为神经元的整体几何特征。所定义的几何特征应该能更好地反映神经元的形态结构。对此，本文选择以下两个重要的几何特征进行说明，其他特征的定义可以参考相关文献。1、 分形维数（Fractal dimension）2分形维数反映了复杂形体占有空间的有效性，它是复杂形体不规则性的量度。利用分形维数来定义神经元的几何特征可以更好地反映神经元的形态结构。若一个分形含有n个相似的部分，每一个部分的线度是整体的，则分形维数定义为：。分形维数的表示有许多方法，本文使用以胞体为中心半径为的球内总长度为的所有分支所遵循的幂律来表示，如图1所示。
10、给定的与胞体的距离的球内，分支总数为。图4-1 神经元中半径为的分形维数示意图2、分区不对称（Partition Asymmetry）分支的两树子树所包含的分叉数和，则的平均值就是分区不对称的值。从图4-2的示图，可以看出分区不对称，用来反映分支上两颗子树不对称的程度。图4-2 分区不对称示意图4.1.2神经元几何特征的选取利用简单的统计分析从上述定义的40多个特征中选取有效的几何特征。利用L-measure软件可计算出附录A和C中的所有样本几何特征的值。但由于大多数所定义的几何特征相关性强，存在冗余现象，需要我们分析各种几何特征的相关性，并选择出相对独立的几何特征用于分类。因此我们对40多个
11、特征进行相关的统计检验，并选取相关性较小的26个几何特征，如表4-1所示。表4-1所选取的几何形态特征编号几何形态特征Feature定义说明s1干的数目Number of Stems与胞体相连的分支数目s2分叉数目Number of Bifurcation所有分叉数目s3宽度Width神经元所占空间的最大宽度s4高度Height神经元所占空间的最大高度s5深度Depth神经元所占空间的最大深度s6直径Diameter分支直径平均值s7长度Length所有分支的总长度s8欧式距离Euclidean Distance从尖端到胞体的欧式距离总和s9分支度Branch Order从胞体到尖端分叉的总数
12、s10段锥度Segment taper每个分段的树干锥度总和s11单位锥度率Unit taper rate单位长度的树干锥度s12收缩率Contraction欧式距离与路径距离的比率s13碎片Fragmentation重建点总数s14子树比率Daughter ratio分支子树的直径比s15父子比率Parent-child ratio分支主干与s16分区不对称Partition Asymmetry参见上文几何特征的定义s17罗尔权Ralls power罗尔权的最佳适应参数s18近端分叉角度Bifurcation angle Local分支的近端分叉角度和s19远端分叉角度Bifurcation
13、 angle Remote分支的远端分叉角度和s20近端房室相邻角度Bif_tilt_Local分支的近端房室相邻角度和s21远端房室相邻角度Bif_tilt_Remote分支的远端房室相邻角度和s22近端扭矩Bif_torque_Local分支的近端扭矩和s23远端扭矩Bif_torque_Romote分支的远端扭矩和s24最后分叉直径Last parent diameter所有最后分叉直径总和s25螺旋度Helix神经元的螺旋度s26分形维数Fractal dimension参见上文几何特征的定义 4.1.3建立改进的SVM决策树分类模型利用以上所选取的几何特征，建立一个神经元空间形态分类
14、模型。所建立的分类模型可以将神经元样本分成5大类（中间神经元可以又细分3类）。所以模型所要解决的是一个确定类别个数的多分类问题。将SVM 和二叉决策树结合起来，构成 SVM 决策树3，是一种有效的分类方法 。本文将选择SVM决策树分类算法建立神经元形态分类模型。为了构造性能良好的决策树结构，根据各类神经元的可分离程度，依次将神经元的类别分割出来。与通常的分类方法相比，SVM 决策树方法对于一个值分类问题, 需要寻找个最优分类面。随着训练的进行,需要的训练样本数逐渐减少。因此,在训练阶段，随着训练的进行，生成最优分类面所需要的训练时间逐渐减少。在分类阶段，该方法并不像通常的方法需要计算所有分类决
15、策函数的值，它仅需要根据决策树的结构，计算所需要的分类决策函数值。该方法的缺点是如果在某个结点上发生分类错误，则会把分类错误延续到该结点的后续下一级结点上。因此，分类错误在越靠近树根的地方发生，分类性能就越差。为构造性能良好的决策树结构，可以考虑：将容易分或者不易产生错分的类先分割出来，然后再分不容易分的类。这样,就能够使可能出现的错分尽可能地远离树根。从所提供的神经元空间几何数据可以看出，不同类别神经元的可分离程度不一致。如普肯野神经元相对容易分离出，而锥体神经元与中间神经元比较难以区分。针对SVM 决策树分类器存在的问题 ,本文定义了基于类分布的神经元类间分离性程度 ,并将其扩展到核空间，建立改进的SVM决策树分类模型。假设要进行类
