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1、江苏省句容市行香中学九年级数学上册第一章一元二次方程知识点总结计划新版苏科版第一章一元二次方程知识点、观点总结1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程有四个特色：(1) 含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2；(3) 是整式方程。要判断一个方程能否为一元二次方程，先看它能否为整式方程，假如，再对它进行整理。假如能整理为ax 2 +bx+c=0(a0) 的形式，则这个方程就为一元二次方程。（ 4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0 时，应知足（ a0）3. 一元二次方程的一般形式
2、：一般地，任何一个对于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成以下形式ax2 +bx+c=0（a 0）。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（ a 0）后，此中 ax2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。4. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法合用于解形如(xa)2b 的一元二次方程。依据平方根的定义可知，x a 是 b 的平方根，当 b0 时， x ab ，xab ，当 b0 时，方程没有实数根 。（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不单在解一元二
3、次方程上有所应用，并且在数学的其余领域也有着宽泛的应用。配方法的理论依据是完整平方公式a 22ab b2(a b)2 ，把公式中的a 看做未知数 x，并用 x 代替，则有 x 22bx b 2(x b) 2 。配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右侧；方程两边都加前一次项系数的一半的平方，使左侧配成一个完整平方式；变形为(x+p) 2=q 的形式，假如 q 0，方程的根是x=-p q；假如 q 0, 方程无实根（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 / 一元二次方程 ax 2bx c0(a0) 的
4、求根公式：xb b 24ac (b 24ac0)2a（ 4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这类方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5. 一元二次方程根的鉴别式根的鉴别式： 一元二次方程 ax2bx c0(a0) 中，b24ac 叫做一元二次方程 ax2bx c 0(a 0)的根的鉴别式，往常用“”来表示，即b 24ac6. 一元二次方程根与系数的关系假如方程 ax 2bxc0(a0) 的两个实数根是x1， x2 ，那么 x1x2b ， x1 x2 c 。也就是说，对于aa任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商
5、的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。7. 分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。8. 分式方程的一般解法解分式方程的思想是将“分式方程”转变为“整式方程”。它的一般解法是：（ 1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（ 2）解所得的整式方程（ 3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应当舍去；若不等于零，就是原方程的根。（参照教材：初中数学九年级人教版）知识点1. 只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程。例题：1、鉴别以下方程能否是一元二次方程，是的打“” ，不是的打“” ，并说明原因 .(1)2x2 -x-3=0.(2)y
6、-y2 =0.(3) t2 =0.41(4) x3 -x2 =1.(5) x2 -2y-1=0.(6)-3=0.x 2(7) x23x=2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2 .(9)3x2 -4 +6=0.(10)3x2 = x -3.x41、若对于 x 的方程 a( x 1) 2 =2x2 2是一元二次方程，则a 的值是（）（A） 2（B） 2（ C）0（ D）不等于 22、已知对于x 的方程 m1 x2n23 xp0 ，当时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a 。3、已知对于x 的方程 m2 xm22xm0 ：m为什么值时方程为一元一次方程；2m为什么值时方程为一元二次方程
7、。知识点二 . 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：ax2bxc0 a0 ，此中 ax2 是二次项， a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数， c 是常数项。特别警告：（ 1）“ a0 ”是一元二次方程的一般形式的一个重要构成部分；（ 2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，因此求一元二次方程的各项系数时，一定先将方程化为一般形式。例题：1、指出以下一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(2)5 x210 x 2.2 0(3)2 x2150(4) x23x0(5)( x2) 232、对于 x的方程 3x22x60 中 a 是； b 是； c
8、 是。知识点三 . 一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。例题：1、已知方程3x29xm0的一个根是 1，则 m的值是。2、设 a 是一元二次方程x25x0 的较大根， b 是 x23x20 较小根，那么 ab 的值是（）（A） -4（ B）-3（C）1（D） 23、已知对于 x 的一元二次方程 x2kx 20 的一个解与方程x13 的解同样。求 k 的值；x1求方程 x2kx 20 的另一个解。知识点四 . 一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：直接开平方法：假如x2k k0 ，则 xk配方法：要先把二次项系数化为 1，而后方程两变同时加前一次项系数一半的平
9、方，配成左侧是完整平方式，右侧是非负常数的形式，而后用直接开平方法求解；公式法：一元二次方程ax2bx c 0 a 0 的求根公式是 xb b24ac b24ac 0 ；2a3因式分解法：假如xaxb0 则 x 1a, x2b 。温 馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，特别是因式分解法，它使用的频次最高，在详细应用时，要注意选择最适合的方法解。例题：解方程：1、方程 x22x0 的解是：（）A. x 1 x21 B.x 11,x23 C.x 1 2, x2 0D. x 12, x2 02、方程5 1 x215x 的较简易的解法应采用。解为3、解以下方程：（1） x23 3 x 1（ 2） 2
10、x2x 3 0（ 3） x22x 3 0（4） 23 y22 3 y（ 5） 1 x 121x 132（ 6） ( x 3)22(7)3 y2222x 56 y 2y 2知识点五 . 一元二次方程根的鉴别式对于一元二次方程ax2bxc0 a0 的根的鉴别式是b24ac ：当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2 4ac 0 时，方程无实数根。温馨提示：若方程有实数根，则有b24ac0 。例题：1、已知方程 x2 3x k0 有两个不相等的实数根，则k=。2、当 m知足何条件时，方程2210 有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？mxmxm9143、对于 x 的方程 mx22 m2 xm50 无实根，试解对于x 的方程m5 x22 m2 xm0 。4、已知对于 x 的一元二次方程 x24 m 1 x 2m 1 0 ，求证：无论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。知识点六 . 一元二次方程根与系数的关系若
