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1、一元二次方程根与系数关系 【学习目标】 1掌握一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，并能灵活的应用。2体会“化归”、“方程”、“分类讨论”等常用数学思想，并努力把它们运用于解决问题当中。 【命题思路剖析】 1重视关于方程根的讨论的考查 【例题】已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 【分析】在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值 【解】 方程（1）有两个不相等的实数根， 解得； 方程（2）没有实数根， 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程
2、（1）为，无整数根 当时，方程（1）为，有整数根 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是 【剖析】熟悉一元二次方程实数根存在条件是解本题的基础，正确确定的取值范围依赖熟练的解不等式的基本技能，筛选出则依赖一定的逻辑推理，这些都是学习数学的努力目标。 2灵活应用一元二次方程根与系数关系解题 一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，是同学们应重点练习的重要内容。 【例题】已知、是关
3、于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由。 【解】因为关于的一元二次方程 有两个非零实数根，则有 又、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，有 假设、同号，则有两种可能： （1） （2）若， 则有 即有 解这个不等式组，得 时方程才有实树根， 此种情况不成立 若 ， 则有 即有 解这个不等式组，得, 又因为 当时，两根能同号 【解题方法点拨】 1充分运用一元二次方程根的意义与根与系数的关系解题 有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题能起到化
4、难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具创造性，是考查能力的好题，是多年来中考命题的热点之一。 【例题】已知、是方程的两个实数根，则的值为_【分析】本题为填空题，应迅速得解，所以应摒弃常规的求根后在带入的方法而力求简解。应充分运用根的意义和根与系数关系解题。【解法一】 由于是方程的实数根，所以 设，与相加，得 ） 构造和（是变形目的） 根据根与系数的关系，有 ， 于是，得 =0 【解法二】由于、是方程的实数根，所以 ， 【点拨】既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。 2关于一元二次方程的实数根问题的讨论，应在“判别式非
5、负”的前提下进行才有意义。 【例题】 已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。 【分析】 当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。 【解】 设两方程的相同根为， 根据根的意义， 有 两式相减，得 当时， ，方程的判别式 方程无实数解 当时， 有实数解 代入原方程，得， 所以 于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为 【点拨】 （1）本题的易错点为忽略关于的讨论和判别式的作用，除了犯有默认的错误，并且还得出并不存在的解： “当时，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为 ”， 实际上，
6、这个解是无稽之谈； （2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件： 且求得的的值必须满足这两个不等式才有意义，这是绝不可忽略的。【能力训练】（30分钟完成）一.选择题：1当代数式的值为7时，代数式的值是（ ） (A) 4 (B) 0 (C) -2 (D) -42如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值等于（ ） (A) 1或2 (B) 0或-3 (C) -1或-2 (D) 0或33已知关于的方程有两个相等的正实根，则的值是（ ） (A) (B) (C)或 (D)4如果方程组有一个实数解，那么的值为（ ） (A) 1 (B) 1 (C) 0或1 (D) 1或-15已知等式，则的值是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)1或3二.填空题：6已知关于的二次方程的一个根是，那么7若、是方程的两个根，且则8若关于的方程有增根，则的值是_9比较大小：当实数时，三解答题：10解方程11已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根 （2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值12若，关于的方程有两个相等的正实数根，求的值
