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1、全国名校高考数学复习优质专题、学案汇编（附详解）空间向量在立体几何中的应用【巩固练习】1若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ）A B C或 D或2已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是（ ）A、 B、 C、 D、3如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）ABD平面CB1D1 B. AC1BDC. AC1平面CB1D1 D. 异面直线AD与CB1所成的角为604如图直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为3，底面是边长为2的菱形，且BAD=60 ，P是棱A1D1的中点，则BP的长等于（ ） A、 B、 C、 D、4
2、5.若平面、的法向量分别为n1=（2，3，5），n2=(-3,1,-4),则，的位置关系是 （用“平行”，“垂直”，“相交但不垂直”填空）.6. 已知=（1，5，-2），=（3，1，z），若，=（x-1，y，-3），且平面ABC，则实数x，y，z分别为 .7. 若|a|=,b=(1,2,-2),c=(2,3,6),且ab,ac,则a= .8. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 .9如图，已知四棱锥P-ABCD，PA垂直于正方形ABCD所在平面，且PA=AB=a，点M是PC的
3、中点，(1)求异面直线BP与MD所成角的大小；(2)求二面角M-DA-C的大小。10如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1B1和B1C1的中点。（1）求点D到BE的距离；（2）求点D到面BEF的距离；（3）求BD与面BEF所成的角。11如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值12如图，三棱锥P-ABC中，ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA面ABC，求二面角A-PC-B的余弦值13如图，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BC=CD，BCD=90，ADB=30.E、F分别是AC，AD的中点. (1)求证：平面BE
4、F平面ABC；(2)求平面BEF和平面BCD所成的角. 14如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC()求证：OD平面PAB；()当k时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；CBAC1B1A11如图，在直三棱柱中， AB=1，ABC=60.()证明：；（）求二面角AB的大小。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 参考答案：1【答案】C 【解析】 2【答案】B 3【答案】D 4【答案】A 5.【答案】相交但不垂直6.【答案】，-，47.【答案】或8.【答案】9【解析】以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，由已知得A(
5、0，0，0)、 B(a，0，0)、 D(0，a，0)、C(a，a，0)、 P(0，0，a)则PC的中点 (1)设直线PB与DM所成的角为，所以直线PB与DN所成的角=90(2) 设,则所以，二面角M-DA-C所成的角为4510【解析】（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，E、F分别是A1B1和B1C1的中点，B（4，0，0），E（2，0，4），D（0，4，0），则=（-2，0，4），=（-4，4，0）在方向上的射影为 点D到BE的距离为 d=(2)设=（x,y,1）为平面BEF的法向量，则，=（0，2，4），=-2x+4=0, =2y+4=0x=2, y=-2,=(2,-2
6、,1)向量在方向上的射影为点D到面BEF的距离为 .(3)设BD与面BEF所成的角为q，则sinq=|cos|=|=|=BD与面BEF所成的角是arcsin 。11【解析】以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为12【解析】以A为坐标原点，,分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.在直角ABC中,AB=，AC=2，BC=1A(0,0,0)，B(0,0)，C(1,0)，P(0,0,1).(0,0)，(1,),设平面PAC的法向量=(a,b,c)，则m，m，且=(0,0,
7、1)，=(1,0)，不妨取=(,1,0)，设平面PBC的法向量=(e,f,g)，则，且=(0,)，=(1,0,0),不妨取=(0,1,)，cos=,故二面角A-PC-B的余弦值为.13【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，取A(0,0,a).由ADB=30可得：B(0,0,0),. , EFAB, EFBC. EF平面ABC，又EF平面BEF 平面BEF平面ABC.(2)作EEBC于E，作FFBD于F，显然， BEEF ， , ，即平面BEF和平面BCD所成的角为.14【解析】OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐
8、标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0)，B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h). ()D为PC的中点,又,OD平面PAB.()则PA=2a,可求得平面PBC的法向量cos.设PA与平面PBC所成角为,刚sin=|cos|=.PA与平面PBC所成的角为.15【解析】解答一（1）证： 三棱柱为直三棱柱，在中，,由正弦定理,又（2）解如图，作交于点D点，连结BD，由三垂线定理知为二面角的平面角在解答二（1）证三棱柱为直三棱柱，由正弦定理 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如图，建立空间直角坐标系，则 (2) 解，如图可取为平面的法向量设平面的法向量为，则不妨取 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
