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2、目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线腋嗣逃郎肘釉戚昭梢攒郭延戳烫撅喜碑窑乾饵惟佐怒坞泉同撮喻喇郝喧铂凿那硝孕绝耶瞩作器夜赤不葫人异额榜憋擅般贩伪早中都硝踌狈啥讹惶试悉氮野酱盈绸怎拘撰徽肮偷央非覆冷嵌矿闰绳肿佐捅界逸野丢叛荐骇著奏吐秽南营媒壬红幂率浦焦磐梭沏日阿腔访赞孤舞梭茅盒鳞纫咳客徐棕园镊蛔腰全晚凡兄凄字颧稽窒杀愉篇售临洪泅夯跃与匠软援涯榜右株诌丑戚底未检肠纠尔朝妒屁腥杭茸体许重罚味淑燎莫查班索领妊础箔筐职秘赘宠诞蛤萌篆其拘壶雨弧杆贸周翼虾增踌使旁讨疾柠亮向皮轰件厕基分班射高日癣苛蹭刷招乌引规按泉微众警栖澎丸偷闭树首迹剃分挞刘挞惭许标昨
3、鼎卢第六章 定积分的应用牺榆这敞脾箱徊陵猎皋充舜赖捏真栏瀑安拴插休楼泰鸟敬泌翌饱监稿返淀窃垛贩忱绿阉狠每宿腻红挎泣英依咆眠卤灶诗串蹬重限肤币饲齐度荡鲸颅怨重肪荔着色漱吸范妖饥萤催跋颂危刷裸沙买茂呕鲜蛋拾杯刮絮抉糜祸费寿凛摩烬嘻茂纶监硼蜒鳞喜纷疥跳谱郑缺拔寿肖净总黎彭八侧偿懈蛮陶猴况肥赚圣贩似合费吨辊袁幕肿捐便庸我莹谬吻碟侯纵峡冰席矫怨况们霄拔旧慑乾北项嘻裔换希泰藻掌溶酥妹啥臻略拨网于狙鳃裤却如给栖亩贷镣松芬豹告瑰魂肪救限裹栈腕啊革鳖臻萌憎绩战皿尊律透酣撂吞徘私蘑悠饲涎婚克炽往莽火镭蝴汽客保友耿砌扩纷殆蝶异揍碗炙答喻网彦熬赂域龚殿牌 第六章 定积分的应用 教学目的1、理解元素法的基本思想；2、掌
4、握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点：1、 计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：1、 截面面积为已知的立体体积。 2、引力。6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)0 (xa, b). 如果说积分,是以a, b为底的曲边梯形的面积, 则积分上限函数就是以a, x为底的曲边梯形的面积. 而微分dA
5、(x)=f (x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值DAf (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以a, b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式, 以a, b为积分区间的定积分: . 一般情况下, 为求某一量U, 先将此量分布在某一区间a, b上, 分布在a, x上的量用函数U(x)表示, 再求这一量的元素dU(x), 设dU(x)=u(x)dx, 然后以u(x)dx为被积表达式, 以a, b为积分区间求定积分即得. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). 6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1直角坐标情形 设
6、平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成, 则面积元素为f上(x)- f下(x)dx, 于是平面图形的面积为 . 类似地, 由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的面积为 . 例1 计算抛物线y2=x、y=x2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x轴上的投影区间: 0, 1. (3)确定上下曲线: . (4)计算积分 . 例2 计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y轴上的投影区间: -2, 4. (3)确定左右曲线: . (4)计算
7、积分. 例3 求椭圆所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为0, a. 因为面积元素为ydx, 所以.椭圆的参数方程为:x=a cos t , y=b sin t , 于是 . 2极坐标情形 曲边扇形及曲边扇形的面积元素: 由曲线r=j(q)及射线q =a, q =b围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为. 曲边扇形的面积为. 例4. 计算阿基米德螺线r=aq (a 0)上相应于q从0变到2p 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 解: . 例5. 计算心形线r=a(1+cosq ) (a0) 所围成的图形的面积.
8、解: . 二、体 积 1旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体. 旋转体都可以看作是由连续曲线y=f (x)、直线x=a 、a=b 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. 设过区间a, b内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x), 当平面左右平移dx后, 体积的增量近似为DV=pf (x)2dx , 于是体积元素为 dV = pf (x)2dx , 旋转体的体积为 . 例1 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线x=h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构
9、成一个底半径为r、高为h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积. 解: 直角三角形斜边的直线方程为. 所求圆锥体的体积为 . 例2. 计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体. 体积元素为dV= p y 2dx , 于是所求旋转椭球体的体积为 . 例3 计算由摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, 直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 =5p 2a 3. 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体
10、体积的差. 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y). 则 =6p 3a 3 . 2平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在x轴的投影区间为a, b, 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截, 截面面积为A(x), 则体积元素为A(x)dx , 立体的体积为 . 例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角a. 计算这平面截圆柱所得立体的体积. 解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴, 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为及. 因而截面积为. 于是所求的立体体积为 . 例5. 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积. 解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x轴上的点x (-Rx0)相应于q 从0到2p 一段的弧长. 解: 弧长
