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1、 决胜高考突破导函数零点的若干策略湖南浏阳三中 数学组 周战武 邮编 410301 联系电话 13973143486导函数的应用在高中数学中可谓神通广大，它是解决函数、方程、不等式及解析几何等问题的利器；而导函数的零点的破解是展示其工具性的关键点。但是当导函数为超越函数或分式函数或其它较复杂的函数时，它的零点就成为了解题过程中的拦路虎。因此导函数的零点问题自然就成为高考题中的热点、难点问题.笔者对近年高考题中的这类问题进行了一些探索，总结了一些解题经验现撰文如下，希望对广大师生有所帮助。策略一等价转化，多次求导回避求导函数的零点例题1（2011年全国新课标理科21题）已知函数曲线处的切线方程为
2、（）求的值()如果当恒成立求的取值范围。分析：（）略。()由（）可知由可知即对恒成立。显然直接构造函数求导很复杂，令问题转化为求的最（极）大值 若则可知可知则 若可知可知则即只需即可。点评：此题没有求导函数的零点，也没有直接确定原函数的单调性，而是通过二次求导顺利解决问题。此策略的基本原则是求导之后导函数变得更简单了；当然将问题等价转化降低难度是关键。策略二巧妙分离参数例2 讨论方程 的解的个数.分析:思路1，若构造函数则导函数的零点无法求出,的单调性无法确定，解题无法继续;思路2若构造函数则令递增;递减; 取得极小值,;所以，当时极小值大于零,无解;当时极小值等于零，有一解，又，；当方程有两
3、解；当方程无解；当方程有一解。点评：思路1构造函数求导后，导函数含有参数k解题无法继续；思路2构造函数，求导之后导函数的零点很容易求出，单调性也很容易确定从而顺利解题，因此在构造函数解题时需要巧妙分离参数，其原则是导函数中不含参数。策略三巧妙分离函数例3 已知方程在区间上有解，求整数k的值。分析：本题实际上是探究函数零点所在的区间及零点的个数，因而必须考滤函数的单调性，若构造函数则导函数的零点不易求，导函数的单调性不易判断；因而尝试分离函数，显然不是原方程的解；原方程等价于令 在上单调递增所以方程有且只有两个实根且分别在区间上，所以点评：此题按常规思路构造函数，导函数的零点不易求出，导函数的单
4、调性不易判断；但是尝试分离函数（将方程作等价变形构造函数）问题迎刃而解，分离函数的原则是：将含有积或商的函数化成基本初等函数的代数和。策略四利用重要函数不等式：例4（2013年高考数学全国卷理科第21题）已知函数（）设是的极值点，求m的值，并讨论的单调性。（）当时证明解（）略首先证，证：设则令解得易知上是减函数在上是增函数，所以所以，当且仅当取得等号。进而等号当且仅当时取得。当时两边取对数得于是由于等号不能同时成立，所以又当时故即点评：此题借助教材上重要函数不等式：，并加以灵活运用达到了曲径通幽之功效。策略五数形结合，回避导函数的零点仍以例4为例（题略）。解在处切线方的程为在处的切线方程为所以
5、为的公切线，而为下凸函数，而为上凸函数，故恒成立；故当时恒成立。点评：策略4要求我们对常见函数的图像及其性质比较熟悉，因此要加强基本功的训练。策略六特值探根，再次求导例5(2013年高考数学辽宁卷理科第21题) 已知函数（I）求证： （II）略解（I）令则显然其零点无法直接求出，探根令得，对一切恒成立，故函数经过点且在区间上单调递增，当时，即在上单调递增，故 得证令设探根，令得在上恒成立故的图像过点且在区间上单调递减，所以又与同号，故得证点评：选取特殊值探根的原则：在含有的复合函数中通常令尤其是令进行试探；在含有的复合函数中通常令进行试探探得函数的一个零点之后，是否还有其他零点尚未可知，后续进
6、行再次求导，求导的目的是探明函数的单调性。策略七虚拟设根，整体转换仍以例4为例（题略）。分析（）先将看作关于m的函数，显然是关于m的减函数，故当时令由题意只要证明在恒成立，求导得，易知的零点无法直接解出，且无法用探根法探知其零点，因此虚设零点。令的零点为则满足且（零点的存在性定理）又故函数经过且在区间上单调递增，当时即在单调递减；在单调递增。 以下只要证明即可。由可知 将同时代入即得又从而得证。点评：尽管是虚设的零点，但虚设的零点也是零点，因此至关重要虽然无法具体解出，但根据零点的存在性定理探知的一个尽可能小的范围，因为这个范围将成为后续函数的定义域；探知后将条件代入将超越函数分别用普通函数代换实现了超越函数普通化。总之，导函数的零点问题是高考重点也是难点，解决问题的方法也是多样的，只要在平时的训练多总结、归纳，就能在高考的决战中制胜。
