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1、1.6 因动点产生的面积问题例1 2013年苏州市中考第29题1如图1，已知抛物线y -X2 bx c (b、c是常数，且cv 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B2的左侧)，与y轴的负半轴交于点 C,点A的坐标为(-1,0).(1) b =，点B的横坐标为 (上述结果均用含 c的代数式表示)；(2) 连结BC,过点A作直线AE/BC，与抛物线交于点 E.点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、 D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3) 在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC.设厶PBC的面积为S. 求S的取值范围； 若 PBC的面积S为正整数，则这样的
2、 PBC共有个.图1第#页共14页动感体验请打开几何画板文件名“ 13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到， EHA与厶COB 保持相似点击按钮“ C、D、E三点共线”，此时 EHD COD 拖动点P从A经过C到达B,数一数 面积的正整数值共有 11个.请打开超级画板文件名“ 13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到， EHA与厶COB 保持相似点击按钮“ C、D、E三点共线”，此时 EHD COD 拖动点P从A经过C到达B,数一数 面积的正整数值共有 11个.思路点拨1用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB = 2OC .2 .当 C、D、E 三
3、点共线时， EHACOB , EHD COD .3求 PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方.4 求得了 S的取值范围，然后罗列 P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个 数.注意排除点 A、C、B三个时刻的值.满分解答1(1) b = c，点B的横坐标为一2c.21 11 1(2) 由 y x2 (c )x c (x 1)(x 2c)，设 E(x,?(x 1)(x 2c).过点E作EH丄x轴于H .由于 OB = 2OC，当 AE/BC 时，AH = 2EH .所以 x 1 (x 1)(x 2c).因此 x 1 2c .所以 E(1 2c,1 c).DH
4、DO当C、D、E三点在同一直线上时，上旦.所以1 c .1-(舍去).2整理，得2c2 + 3c 2 = 0 .解得c =- 2或c(3) 当P在BC下方时，过点 P作x轴的垂线交 BC于F.直线BC的解析式为y x 2 .2、r 1 2 3- 2设 P(m,-m m 2)，那么2) , FP m 2m .2 22212FPm2 4m (m 2)2 4.所以 SPBC = & pbf+ Sa pcf = FP(XB XC )因此当P在BC下方时， PBC的最大值为4.当P在BC上方时，因为 SA ABC= 5，所以SA PBCv 5.综上所述，0 v Sv 5.若 PBC的面积S为正整数，则这
5、样的 PBC共有11 个.考点伸展点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中， PBC的面积为整数，依次为(5), 4, 3, 2, 1, (0),1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, (0).当P在BC下方，S= 4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点.所以S四边形PBADS梯形PBODS pdbx2 2x+2 -如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、0(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90，得到三角形 ABO.(1) 一抛物线经过点 A、B、B,求该抛物线的解析式；(2) 设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P,使四边
6、形PB A B的面积是厶A B O 面积的4倍？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)的条件下，试指出四边形PB A B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质.图1动感体验请打开几何画板文件名“ 12荷泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边 形PB A B是等腰梯形时，四边形PB A B的面积是厶A B 0面积的4倍.请打开超级画板文件名“ 12荷泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边 形PB A B是等腰梯形时，四边形PB A B的面积是厶A B 0面积的4倍.思路点拨1四边形PB A B的面积是厶A B 0面积
7、的4倍，可以转化为四边形 PB OB的面积是 A B O面积的3倍.2. 联结PO,四边形PB OB可以分割为两个三角形.3 过点向x轴作垂线，四边形 PB OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.满分解答(AOB绕着原点O逆时针旋转90,点A 、B 的坐标分别为(1,0)、(0, 2). 因为抛物线与 x轴交于A ( 1,0)、B(2, 0)，设解析式为y= a(x+ 1)(x 2),代入 B (0, 2)，得 a= 1.所以该抛物线的解析式为y = (x+ 1)(x 2) = x121 33 2S pdb -DBPD -(2x)( x2x 2) -x3x22 . 2 2 2 + x+
8、 2.(2)a b o= 1.如果S 四边形PB A B = 4 Sa b o= 4，那么 S 四边形PB OB = 3 S A B O = 3. 如图2,作PD丄OB,垂足为D.设点P的坐标为(x, x2 + x+ 2).1121312S梯形pbodDO(B O PD) x(2 x x 2) ?x 尹 2x 解方程一 x2 + 2x+ 2 = 3，得 Xi = x2= 1 . 所以点P的坐标为(1 , 2).图4第#页共14页(3)如图3,四边形PBAB是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上 的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线.考点伸展第
9、(2)题求四边形PBOB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单.PBOBO xP2-2x x.2PBO12BO yp2(x 2)x2 x 2.所以S四边形PBADPBOS PBOx22x+2 .甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P:作厶A OB关于抛物线的对称轴对称的 BOE，那么点E的坐标为(1 , 2).而矩形EB OD与厶A OB、 BOP是等底等高的，所以四边形EB A B的面积是厶A B O面积的4 倍.因 此点E就是要探求的点P.例3 2012 年河南省中考第23题如图1,在平面直角坐标系中，直线y lx 1与抛物线y= ax2 + bx 3交于A、B两
10、点，点A在x轴2上，点B的纵坐标为3 .点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线 AB于点C,作PD丄AB于点D .(1) 求 a、b 及 sin / ACP 的值；2)设点P的横坐标为m. 用含m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最大值； 连结PB,线段PC把厶PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9 : 10?若存在，直接写出 m的值；若不存在，请说明理由.图1第#页共14页动感体验请打开几何画板文件名“ 12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛
11、物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9 : 10,也可以是10 : 9.思路点拨1.第(1)题由于CP/y轴，把/ ACP转化为它的同位角.2 .第(2)题中，PD = PCsin / ACP，第(1)题已经做好了铺垫.3. PCD与厶PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比.4两个三角形的面积比为9 : 10,要分两种情况讨论.满分解答(1) 设直线 y lx 1 与 y 轴交于点 E,那么 A( 2,0), B(4,3) , E(0,1).2在 Rt AEO 中，OA = 2, OE = 1，所以
12、 AE 、5 .所以 sin AEO 乙5 .5因为 PC/EO，所以/ ACP=Z AEO .因此 sin ACP 红5 .4a 2b 3 0,5将 A( 2,0)、B(4,3)分别代入 y= ax2+ bx 3, 得16a 4b 3 3.例4 2011年南通市中考第28题(2) 由 P(m, 1m2 1 m 3)， C(m, 1m 1)，11 2 11 2得 PC (_m 1) ( m m3) m m 4 -5 (m 1)259、55-22 22所以 PD PC si n ACP PC (m2 m 4) 552所以PD的最大值为.5(3) 当 Sa PCD : Sa PCB= 9 : 10
13、 时，m ；2当 Sa PCD : Sa PCB= 10 : 9 时，m 32 .9考点伸展图2第（3）题的思路是： 比.PCD与厶PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的而 DN PD cos PDNPD cos ACP匹注(m2 m 4)5521(m 2)(m 4),5当SaPCD :Sapcb = 9 :10时，1(m52)(m4)9(410m).解得m当SaPCD :Sapcb = 10:9时，1 ( (m2)(m4)1(4m).解得mBM = 4 m.52329第#页共14页如图1，直线I经过点A(1 , 0)，且与双曲线y m(x0)交于点B(2, 1).过点P
14、(p,p 1)(p 1)作xx轴的平行线分别交曲线 y m (x 0)和ym(XV 0)于M、N两点.Xx(1) 求m的值及直线I的解析式；2) 若点P在直线y= 2上，求证： PMBPNA;3) 是否存在实数 P,使得&AMN = 4SAMP ?若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请 说明理由.动感体验请打开几何画板文件名 “11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过(0,2)点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形； AMN和厶AMP是两个同高的三角形， MN = 4MP存在 两种情况.思路点拨1第(2)题准确画图，点的位置关系尽在图形中.2 .第(3)题把SaAMN = 4Ssmp转化为MN = 4MP,按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论.满分解答(1) 因为点B(2, 1)在双曲线y m上，所以m= 2.设直线I的解析式为y kx b，代入点A(1, 0)x和点B(2, 1)，得k b 0,解得k 1,所以直线I的解析式为y x 1.2
