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1、反比例函数如东县长沙初中 蔡爱华一、教学目标 1创设问题情境,引导学生与正比例函数定义对比,自主建构反比例函数的概念,会用待定系数法求反比例函数解析式;2引导学生自主探究,通过观察、分析、归纳,根据反比例函数的图像,探究其性质;3体验反比例函数是刻画现实世界中变化规律的一个数学模型。二、教学重点难点1重点:画反比例函数图象,理解反比例函数性质。2难点:理解反比例函数性质,并能灵活应用。三、教学过程(一)由正比例函数入手,创设情境,通过对比,自主构建反比例函数的定义。1、给出实例:一辆以60km/h匀速行驶的汽车,它行驶的距离s km随时间t h的变化而变化的关系式。回顾正比例函数的定义,凸显正
2、比例函数中的两上变量之间的对应规律:一个变量是另一个变量的k倍(k0)。即两个变量的商是一个常数。2、教师给出用反比例函数刻画现实世界变化规律的实例:(1)从到长沙到掘港约20km,某汽车的行驶时间t h随平均速度v km./h的变化而变化。(2)长沙初中的操场面积约5000,操场长y m 随宽x m的变化而变化。(3)长沙初中图书室藏书24100册,生均拥有图书量W册/人随着全校学生数n人的变化而变化。如果把上面的三个函数关系式中自变量都用x表示,函数用y表示,常数用k表示,那这三个函数关系都可以写成什么形式? xy=k(k0),或(k0)通过与正比例函数的对比,揭示反比例函数中的两个变量之
3、间的对应规律:两个变量的积是一个常数,自主建构反比例函数的定义,在比较中加深对概念的理解。设计意图:营造学生熟悉的情境,让学生充分运用自己对已有“正比例函数”的定义的理解,通过对比,自主建构“反比例函数”的定义,学生的抽象思维得到发展,这样不仅提高了学习的效率,而且激发了学生自主学习的热情和兴趣,再加上教师适时的引导,使得学生将新知同化到原有的知识结构中,学习了如何对新的情况、新的问题进行正确的调整,进一步提高自己的自主学习能力。3、练习(深化对反比例函数定义的认识):说说下列函数中哪些是反比例函数,并指出相应的k的值。(1);(2);(3);(4);(5); (6)。4、让学生列举现实生活中
4、用反比例函数刻画变量之间对应关系的例子,体验反比例函数是刻画现实世界中变化规律的一个数学模型。设计意图:从更高的层次,更新的角度进一步掌握、理解“反比例函数的定义”,进而提高学生数学思维能力、反思能力,提升自我学习的经验和学习能力。(二)在学生动手操作,画出多个反比例函数的图像的基础上,引导学生由图像特征抽象概括反比例函数的性质。我们知道正比例函数的图像是一条直线,那反比例函数图像是什么样子呢?你还记得怎样画函数的图像吗?(列表、描点、连线)1、 尝试画出函数;的函数图像2、 教师运用多媒体演示作图过程。解:列表:x-6-5-4-3-2-1123456-1-1.2-1.5-2-3-66321.
5、51.2111.21.5321-1-2-3-1.2-1.5-6讨论:根据表格能否猜想图像的特征?描点、连线并验证猜想。3、 独门画反比例函数和的函数图像4、 师生共同概括反比例函数的图像:反比例函数是双曲线,双曲线的两个支点关于原点对称。当k0时,双曲线的两支分别位于一、三象限,在每个象限内,曲线从左到右逐渐下降;当k0时,双曲线的两支分别位于二、四象限,在每个象限内,曲线从左到右逐渐上升。5、 由双曲线的特征概括其性质:当k0时当k0时曲线的两支分别位于一、三象限双曲线的两支分别位于二、四象限在每个象限内y随x的增大而减小在每个象限内y随x的增大而增大设计意图:通过类比,引导学生观察图像的形
6、状、位置、变化趋势,感受“形”的特征。学生经历了“亲手操作”“亲自体会”“积极参与”“与人合作”“深刻体会”的过程,因而学生获得的不只是知识、技能、策略、方式方法,而且体验了数学活动所充满的探索与创造的活力,获得成功的喜悦,激励了自主探究、交流、合作学习的积极主动性,发展了学生的学习能力。(三)练议:师生互动,深化对新知识的理解和应用,提高学习能力。1、引导学生探究确定反比例函数的解析式的条件,并自己编题、解题。(1)研究:确定反比例函数的解析式必须已知一个独立条件。如:已知变量与函数的一组对应值,或者反比例函数的图像上一个点的坐标,就能确定反比例函数的解析式。(2)学生编题、解题(3)教师视
7、学生编题情况适当调整和补充。2、通过练习深化对反比例函数图像和性质的理解,初步感受应用价值:(1)函数的图像在第_象限,在每个象限内,y随x的增大而_。(2)双曲线经过点(3,_)。(3)函数在二、四象限,则m的取值范围是_。(4)对于函数,当x0时,y随x的_而增大,这部分函数图像在第_象限。设计意图:练习是检验学生学习效果的一个有效手段,能深化学生对新知识的理解和应用,体会学习的乐趣。学生在自编习题的过程中,争先交流,不仅能表现出自己的成就感,而且培养了学生强烈了竞争意识。让学生对今天研究的课题更加感兴趣,学生的积极性能得到更好地延续和发展,真正体会到自己是学习的主体。(四)师生共同小结,
8、交流体会,总结归纳研究反比例函数的数学思想和研究方法。设计意图:引导学生学会归纳本课的知识要点和思想方法,把已学的数学知识、思维方法和研究方法条理化、系统化,并达到熟练、灵活运用的程度。(五)布置作业、阅读课本.反比例函数、完成习题、四、实践反思本节课学生不仅学会了反比例函数的定义、图像和性质这些知识,体会到数形结合的思想,而且能运用这些分析和解决问题。正比例函数和反比例函数都是函数和两种重要类型,是相近的两个概念,而且正比例函数和反比例函数的性质运用广泛,所以采用在比较中认识两个概念,从正比例函数研究的内容、方法、类比迁移到反比例函数,这是正迁移。这种迁移能让学生逐步掌握研究函数的一般方法,
9、这对学生的后续学习是很有帮助的。但是在研究反比例函数时,正比例函数的形式对反比例函数的图像又造成了负迁移。本人通过“同化”和“调整”等手段,采用对比、类比、化归、实验等方法进行内化,体现了“生本课堂”所倡导的让学生从“会学”达到“学会”。让学生编题、解题、小组内交流的目的不只是巩固和应用知识,更是为了使学生在探寻解题途径、应用知识解题的过程中获得方法和经验,以及探究的乐趣,并提高学习效益,学会评价,让学生对自己和同学的学习成果作出价值判断。具体的说就是在独立编题、解题和交流讨论的过程中,学生能及时获得反馈,从自己和同学对知识的理解、技能掌握的程度、应用能力、思维品质的形成和学习兴趣、方法、态度、习惯等方面进行恰当和评判,并能据以自觉相应地调整自己的学习。