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1、二次求导【理2010全国卷一第20题】已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明：先看第一问，首先由可知函数的定义域为，易得则由可知，化简得，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子，而又大于零，所以两边同乘可得，所以有，在对求导有，即当时，0，在区间上为增函数；当时，；当时，0，在区间上为减函数。所以在时有最大值，即。又因为，所以。应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。要证，只须证当时，；当时，即可。由上知，但用去分析的单调性受阻。我们可以尝试再对求导，可得，显然当时，；当时，即在区间上为减函数，所以有当时， ，我们通过二次求导分析的单调性，得出当时，则在区间上为增
2、函数，即，此时，则有成立。下面我们在接着分析当时的情况，同理，当时，即在区间上为增函数，则，此时，为增函数，所以，易得也成立。综上，得证。下面提供一个其他解法供参考比较。解：（），则题设等价于。令，则。当时，；当时，是的最大值点，所以 。综上，的取值范围是。（）由（）知，即。当时， 因为0，所以此时。当时，。所以比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！下面
3、我们再看一道高考压轴题。【理2010全国卷三第21题】设函数。（）若，求的单调区间；（）若当时，。求的取值范围。第一问没有任何难度，通过求导数来分析的单调即可。当，令，得；当时，；当时，。所以在区间上为减函数，在区间上为增函数。第二问，其实第一问算是个提示，即当时，在区间上为增函数，故，显然满足题意。下面我们分别分析和两种情况。当时，在区间上显然，综上可得在区间上成立。故满足题意。当时，显然，当在区间上大于零时，为增函数，满足题意。而当在区间上为增函数时，也就是说，要求在区间上大于等于零，又因为在区间上为增函数，所以要求，即，解得。综上所述，的取值范围为。通过上面两道压轴题，我们已经领略了二次
4、求导在分析高考数学函数压轴题的威力。再看看某些省市的函数题。【理2010安徽卷第17题】设为实数，函数。（）求的单调区间与极值；（）求证：当且时，。第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数，如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。 ，继续对求导得 减极小值增由上表可知，而，由知，所以，即在区间上为增函数。于是有，而，故，即当且时，。2009辽宁理科已知函数，()讨论函数的单调性 ()证明：若，则对任意，有解析：根的大小不确定；利用结论证明不等式()的定义域为（1）若，即时此时在单调增加（2）若，即时，1+00+极大值极小值所以，在，内单调递增；在内单调递减（3）若，即时
5、+00+极大值极小值所以，在，内单调递增；在内单调递减()考虑函数 则由于，故，即在(0, +)单调增加不妨设时，则，即所以2010天津文科已知函数，其中()若，求曲线在点处的切线方程；()若在区间上，恒成立，求的取值范围解析：根的范围不确定；不等式恒成立()当时，则；，则 所以在点处的切线方程为，即()令，解得：；0+00+极大值极小值（1）若，即时在内单调递增；在内单调递减所以，当时，等价于，即解得，所以（2）若，即时在，内单调递增；在内单调递减所以，当时，等价于，即解得或，所以综合（1）和（2），可知的取值范围为2008浙江理科已知是实数，函数()求函数的单调区间()设为在区间上的最小值
6、()写出的表达式（）求的取值范围，使得解析：根的存在不确定() 的定义域为，（1）若时，则，在区间上单调递增（2）若时，令，得0+极小值所以，在内单调递减；在内单调递增() ()（1）当时，在上单调递增所以（2）若，即时，在内单调递减；在内单调递增所以（3）若，即，在上单调递减所以综上所述， （）令若，无解；若，解得；若，解得所以，的取值范围为2010全国文科已知函数()设，求的单调区间；()设在区间中至少有一个极值点，求的取值范围解析：根的存在不确定()当时，+00+极大值极小值所以，在，内单调递增；在内单调递减()，（1）当时，为增函数，故无极值点；（2）当时，令，解得；因为在区间中至少有
7、一个极值点，所以，或解得，所以的取值范围是2010天津理科已知函数()求函数的单调区间和极值()已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当时，()如果，且，证明：解析：不等式恒成立；利用结论证明不等式()1+0极大值所以，在内单调递增；在内单调递减为极大值()证明：由题意可知令 因为时，；，所以即在单调递增所以时，即()因为 ，不妨设由()可知，所以因为，根据单调性，即 2011天津理科已知，函数 ，（的图像连续不断）()求的单调区间()当时，证明：存在，使()若存在均属于区间的，若，使，证明：解析：利用结论证明不等式()，+0极大值在上单调递增；在上单调递减()证明：当时，由()知在上单调递增；在上单调递减令因为在上单调递增，所以，即取，则所以存在，使即存在，使()证明：因为，由()可知又由，知因为，所以，解得：2011全国课标-21已知函数，曲线在点处的切线方程为()求，的值()如果当，且时，求的取值范围解析：不等式恒成立() 由于直线的斜率为，且过点，即解得，()由()知， ，等价于即，设，其中则0（1）时，且（2）时，且综上，当时，
