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1、第23讲 含参数的不等式(3)（3）不等式的能成立,恰成立和部分成立问题【例1】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 【解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得第二个填空是不等式能成立的问题. 设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.【例2】设，二次函数若的解集为， ，求实数的取值范围.【解】这是一个题目在不等式成立的前提下，求参数的范围的问题， 这个题目的常规解法是：由题设,. 的两个根为显然,. (1) 当时, (2) 当时, , .于是,实数的取值范围是.因为,题目的条件是只要
2、集合的交集不是空集就可以,即只要不等式在区间有解就可以,这等价于成立.解法就简单些.解法如下:(1) 当时,因为的图象的对称轴，则对，最大， (2) 当时, 在或实现,由,则于是,实数的取值范围是.把函数思想与数形结合思想结合起来，还可获得更简单的解法，即在有解.【例3】已知函数，. （）若，且存在单调递减区间，求a的取值范围； （）（略） 【解】只研究第（I）问.，则因为函数存在单调递减区间，所以有解.由题设可知,的定义域是 ,而在上有解,就等价于在区间能成立,即, 成立, 进而等价于成立,其中.由得,.于是,由题设,所以a的取值范围是【例4】设是函数的一个极值点.（）求与的关系式（用表示）
3、，并求的单调区间；（）设，,若存在使得成立，求的取值范围.【解】（），由，得，则.于是令，得，由于是极值点，所以有,则.当时，则在区间上，为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数。当时，则在区间上，为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数。（）由（）知，当时, 在区间上的单调递增，在区间上单调递减，那么在区间上的值域是，而,那么在区间上的值域是如果函数在的值域与在的值域的交集非空，则一定存在使得成立，如果函数在的值域与在的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.由（）可得,函数在的值域为,又在的值域为,存在使得成立，等价于或，容易证明,.于是, .【例5】()
4、已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;()已知当的值域是,试求实数的值.【解】 这两问给出的函数的表达式相同,的范围相同,的取值区间也相同,但是,由于设问的含义不相同,所以解题的目标也不相同.本题的第()问是一个恒成立问题, 对任意恒成立等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.由于在上为增函数,则, 所以 .第(问是一个恰成立问题,这相当于的解集是.当时,由于时, ,与其值域是矛盾,当时, 是上的增函数,所以,的最小值为,令,即【例6】已知适合不等式的的最大值为，求实数的值，并解不等式.【解】 这是一个不等式恰成立问题.因为的最大值为,所以,已知不等式化为即 由不等式有解可知,(1)当时
5、,不等式化为 由题设, 有解为,于是有 解得不等式的解为.(2)当时, 不等式化为 由题设, 有解为或,于是有解得与矛盾,此时无解.由(1),(2),.【例7】已知动直线与椭圆交于两点, 轴上有一动点.令向量,其中a为一个给定的常数(a,且有b|+与共线=.求出a的值.【解】设点A的坐标为,点的坐标为,线段AB中点为M(, ), =与共线等价于与共线, ,由与共线得,即 ,由, 消去y得 , 两根为, . =, , , =.与共线=, 或0,或,于是，且构造函数，则其定义域满足即,或且.因而,这相当于含参数的不等式在定义域内恰成立.即在且,或x时,最小值为. 图象的对称轴是,于是由图象可知:(
6、1) 当,即时,当时最小,最小值为 .+1=3,解得;(2) 当0,即a时, ,此时, 无最小值.由(1)(,(2)得常数. 【例8】()若函数的一个单调增区间为,求的值;()若函数在区间为增函数,求的取值范围.【解】（）是指恰为函数的一个单调增区间，因此，在区间上恰成立,即恰为方程的一个根，解得.（）是指只要是增区间的一个子区间就可以.即在上恒成立,即在上恒成立.【例9】已知集合,函数的定义域为.()若,求实数的取值范围.()若方程在内有解, 求实数的取值范围.【解】（）函数的定义域满足.等价于不等式在上有解,即不等式在上能成立. 对不等式分离参数,化为.设,则在上能成立,等价于.(可参考图
7、象).,因为,且在上是减函数,所以,于是, 实数的取值范围为.（）方程化为,于是方程在内有解,等价于在内有解,化为,设,则本问又等价于实数的取值范围就是函数在上的值域.,则函数在上是减函数,于是,因为=12,实数的取值范围.【例10】已知，设函数在上单调递减；的解集为.如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.【解】函数在上单调递减，.的解集为在上恒成立如果正确,且不正确,则,如果正确,且不正确,则.由以上, 的取值范围是这是一个部分成立问题. 【练习题】1.若不等式的解集非空数集, 试求实数的取值范围;2.已知,试问在区间上是否存在一个,使得成立,请证明你结论.3设函数，若存在实数，使得，且，求
8、的最大值.4.已知命题P：对实数，不等式: 对所有实数都成立,命题Q：满足，若命题“P或Q”为真，命题“P且Q”为假，求实数的取值范围.【练习题参考答案】1.本题相当于存在,使不等式成立,因此,是一个能成立的问题.设,为使有解,只要的最小值小于即可. 则的最小值为2,解得2.这是一个不等式能否成立的问题.假设存在一个,使得成立,即 或.于是,只需 或.因为,所以,于是,在上是减函数.因此, 在上的最大值为,最小值为,有 或即 或.因为上面两个不等式必定有一个成立,所以在区间上必定存在一个,使得成立.3设 则或.若，且,则必有,或,或即或,解得,所以, 的最大值是2.注:事实上,题设中的是多余的
9、,由条件，且可得4.这是不等式的部分成立问题.解命题P得,解命题Q得,若命题“P或Q”为真，命题“P且Q”为假,则等价于命题P与Q一个为真,一个为假.把P和Q的解集画在数轴上,可直观地得出, 实数的取值范围是或. 附：含参数不等式的成立问题举例一恒成立问题的呈现形式【例1】（2006江西卷,理）已知函数在与时都取得极值()求的值与函数的单调区间()若对，不等式恒成立，求的取值范围。【例2】(2005湖北卷，理,文)已知向量若函数在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围.【例3】 (2006湖北卷,文)设数列的前n项和为，点均在函数的图像上.（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使
10、得对所有都成立的最小正整数m.【例4】已知函数在区间上是减函数,求实数的取值范围. 【例5】（2006全国卷，理）设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。【例6】(2006天津卷,理)已知函数,其中为参数,且.() 当时,判断函数是否有极值;() 要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;() 若对()中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围.【例7】（2006四川卷，文） 已知函数，其中是的导函数（）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点【例8】求与抛物线相切于坐标原点的最大圆的方程. 【例
11、9】已知函数，若对于任意，存在一个以为边的三角形，求的取值范围。【例10】(2005全国卷,理)已知函数 （）求的单调区间和值域；（）设，函数,若对于任意,总存在使得成立，求a的取值范围.【例11】(2000日本宫城教育大学入学试题)已知两个函数，其中为实数.()若对任意的，都有成立，求的取值范围； ()若对任意的，都有，求的取值范围.【例12】 (2007福建卷,文) 设函数（）求的最小值；（）若对恒成立，求实数的取值范围【例13】(07年陕西卷,文)已知在区间上是增函数，在区间上是减函数，又（）求的解析式；（）若在区间上恒有成立，求的取值范围【例14】(2007辽宁卷,文)已知函数，且对任
12、意的实数均有，（I）求函数的解析式；（II）若对任意的，恒有，求的取值范围【例15】(2007全国卷,文) 设函数在及时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围【例16】(2007天津卷,文)设函数（），其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的极大值和极小值；（）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立【例17】(2007全国卷,理) 设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围【例18】(2007重庆卷,理) 已知函数在处取得极值，其中为常数（）试确定的值；（）讨论函数的单调区间；（）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围【例19】(200
13、7福建卷,理) 已知函数（）若，试确定函数的单调区间；（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（）设函数，求证：【例20】(2007辽宁卷,理) 已知函数，（）证明：当时，在上是增函数；（）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；（）证明：【例21】(2007浙江卷,理)设，对任意实数，记（I）求函数的单调区间；（II）求证：（）当时，对任意正实数成立；（）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立二能成立问题的呈现形式【例1】（2006全国卷，文）设，二次函数若的解集为， ，求实数的取值范围.【例2】(2005湖南卷，理) 已知函数，. （）若，且存在单调递减区间，求a的取值范围； 【例3】已知函数的导函数为,存在两个极值点 ()若求使不等式有解的的取值范围;()若且不是整数,区间也不含整数，试证明存在整数使【例4】(2006湖北卷,理)设是函数的一个极值点.（）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）设，,若存在使得成立，求的取值范围.【例5】已知集合,函数的定义域为.若,求实数的取值范围.【例6】若不等式的解集非空数集, 试求实数的取值范围;【例7】已知,试问在区间上是否存在一个,使得成立,请证
