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1、6.1 如题6.1图所示，用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来，悬线OC通过圆盘质心，圆盘呈水平状态，这个装置称为扭摆，当使圆盘转过一个角度时，金属线受到扭转，从而产生一个扭转的回复力矩。若扭转角度很小，圆盘对OC轴的转动惯量为I，扭转力矩可表示为，求扭摆的振动周期。题6.1图CO解：已知，由转动方程，可得：， 对比（6.2）式可知：，所以 6.2 一质量为m的细杆状一米长的直尺，如果以其一端点为轴悬挂起来，轴处摩擦不计，求其振动周期。题6.2图解：复摆（物理摆）小角度振动时方程为：对比（5.2）式，可知 因为以一端为轴的直尺的转动惯量为，所以 6.3 有一立方形的木块浮于静水之中，静止时浸入水中
2、的部分高度为。若用力稍稍压下，使其浸入水中部分的高度为b，如题5.3图所示，然后松手，任其作自由振动。试证明，如果不计水的粘滞阻力，木块将作简谐振动，并求其振动的周期和振幅。题6.3图解：设s为木块底面积，浮力与重力相等处于平衡状态时有：所以 当木块偏离平衡位置x后，有：6.4 一质量为1.010-3千克的质点，作简谐振动，其振幅为2.010-4米，质点在离平衡位置最远处的加速度为8.0103米/秒。（1）试计算质点的振动频率；（2）质点通过平衡位置时的速度；（3）质点位移为1.210-4米时的速度；（4）写出作用在这质点上的力作为位置的函数和作为时间的函数。解：已知，。令则由已知条件可得 （
3、1）（2）过平衡点时，速度为最大值：（3）（4）6.5 如题6.5图所示，一重力作用下的弹簧振子，振子静止时弹簧伸长l=10厘米；将振子向下拉一段距离d=2.0厘米，并在位移方向给它一个向下的初始速度v0=10厘米/秒，任其运动，不计空气阻力，试求：（1）振动频率；（2）振幅A；（3）初相位j；（4）振动表达式。(g取10米/秒2)解：（1）振动频率 （2）振幅 （3）初相位 题6.5图(v00取正号，v00取负号)（4）振动表达式. 6.6 一不计质量，自然长度为l的弹簧，两端分别系上质量为m1和m2的质点，放在光滑的水平桌面上，开始时两手持m1和m2把弹簧拉长至l，停止不动，然后两手同时放
4、开，试问这系统将如何运动？解：无外力，整个过程质心不动，t时刻m1和m2位置分别为x1和x2，故有：题5.6图m1m2最大位移:与（5.2）式对比可得：此系统作振幅为A，圆频率为w的简振动。6.7 有一鸟类学家，他在野外观察到一种少见的大鸟落在一棵大树的细枝上，他想测得这只鸟的质量，但不能捉住来称量，于是灵机一动，测得这鸟在树枝上在4秒内来回摆动了6次，等鸟飞走以后，他又用一千克的砝码系在大鸟原来落的位置上，测出树枝弯下了12厘米，于是他很快算出了这只鸟的质量。你认为这位鸟类学家是怎样算的？你想到了这种方法吗？这只鸟的质量是多少？解：可以认为树技与鸟组成一个谐振子。利用砝码测得树枝的弹性系数为
5、：因为，鸟在树枝上在4秒内来回摆动了6次，所以，又因为可得：6.8 如题6.8图所示，有一弹簧振子，弹簧的倔强系数为k，振子的质量为m，开始时处于静止平衡状态，有一发质量为m的子弹以速度v0沿弹簧方向飞来，击中振子并埋在其中，试以击中为计时零点，写出此系统的振动表达式。解：碰撞时动量守恒,碰后机械能守恒可列方程：题6.8图所以 ，代入下式所以 取向右为正方向，6.9 如题6.9图所示振动系统，振子是一个作纯滚动的圆柱体，已知圆柱体的质量为m，半径为R，弹簧的倔强系数为k，并且弹簧是系于圆柱体的中心旋转对称轴上。试求这一振动系统的频率。解：设弹簧原长处为平衡点，又因弹簧质量不计，对圆柱体在运动中
6、的受力进行分析有： （1）题6.9图 （2）由（2）式可得代入（1）式得： 推出6.10 如题6.10图所示，弹簧的倔强系数为k，定滑轮的质量为m，半径为R，转动惯量为I，物体的质量为m。轴处摩擦不计，弹簧和绳的质量也不计，绳与滑轮间无相对滑动。（1）试求这一振动系统的振动频率，（2）如果在弹簧处于原长时由静止释放物体m，m向下具有最大速度时开始计时，并令m向下运动为x的正坐标，试写出m的振动表达式。解：（1）设弹簧原长l0，系统平衡时，弹簧伸长x0，平衡时m所在点为坐标原点，有运动中，由转动定理有：题6.10图对于m，有又因 联立以上各式，可得：即 设 则 （2）以弹簧原长时释放m，所以，又
7、 ，则 振动表达式为 6.11 在LC电路中，电容极板上的电量若为q，电容器将储能，流经电感中的电流若为i，电感中将储存磁能，且=恒量，试求LC电路的固有振荡频率。解：6.12 假定有两个质量均为m的离子，它们之间的势能为：，（1）试用a和b表示其平衡位置；（2）试证明其振动圆频率为解：（1）保守力平衡点f=0（2）作微振动f可写成将f作一级近似：6.13 质量m=1.010-2千克的小球与轻质弹簧组成的振动系统按的规律振动，式中各量均为SI单位。求（1）振动的圆频率、周期、振幅和初始相位；（2）振动的速度和加速度（函数式）；（3）振动的总能量E；（4）振动的平均动能和平均势能；（5）t=1.
8、0秒、10秒等时刻的相位。解：（1）与振动表达式比较便直接可得：（2） （3） （4）6.14 在阻尼振动中，量叫做弛豫时间。（1）证明t的量纲是时间；（2）经过时间t后，这振子的振幅变为多少？能量的最大值变为多少？（3）把振幅减小到其初值的一半所需的时间（用t表示)；（4）当经过的时间等于上述（3）中求出值的2倍、3倍时，求振幅的值。解: （1）（2）（3）（4）6.15 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接轨处即受一次震动，使装在弹簧上面的车厢上下振动。设每段铁轨长12.5米，弹簧平均负重5.5吨，而弹簧每受1.0吨力将压缩16毫米。试问，火车速度多大时，振动特别强？解: 固有振动周期等于强迫力
9、周期时发生共振。火车固有周期为：发生共振时，此时火车恰好走一节铁轨。6.16 已知两个同方向谐振动为，（1）求它们合振动的振幅和初始相位；（2）另有一个同方向的简谐振动，问j为何值时，x1+x2的振幅为最大？j为何值时，x2+x3的振幅为最小？(各量皆用SI单位。)解:(1) (2) x1+x2合振幅最大时，取零，即x2+x3合振幅最小时，（或）（或）6.17 一质点同时受两个同频率和同方向简谐振动的作用，它们的运动方程分别为和，试写出质点的运动方程。解：仍是谐振动，6.18 一待测频率的音叉与一频率为440赫兹的标准音叉并排放置，并同时振动。声音响度有周期性起伏，每隔0.5秒听到一次最大响度
10、的音（即拍声)，问拍频是多少？音叉的频率可能是多少？为了进一步唯一确定其值，可以在待测音叉上滴上一滴石蜡，重做上述实验，若此时拍频变低，则说明待测音叉的频率是多少？解： 由题知T=0.5s，得拍频或若在待测音叉上滴上一滴石蜡，其固有频率变低，如果测得拍频变低，则成立6.19 （1）波源的振动频率表达式为，我们的计时零点是怎样选择的？如果以波源所在处为坐标原点，波沿x正方向传播，那么对应的波函数应该怎样写？（设波速为v）。（2）如果选取波源向正y方向振动，且位移为A/2的时刻为计时零点，波源处为坐标原点，波速仍为v，波函数该怎样写？（3）如果在上题中把波源的位置定为x0点，波函数又该怎样写？解：
11、（1）波源初相位为0，是恰好在正的最大位移处开始计时，若x与同向，波函数为：（2）如右图又因为，所以所以（3）若波源在x0点，若与x同向，任意x的振动要比x0点落后，x点t时刻的振动是x0点在时刻的振动。其中6.20 一沿很长弦线行进的横波波函数为，式中各量均为国际单位。试求振幅、波长、频率、波速、波的传播方向和弦线上质元的最大横向振动速率。解：因为所以，x点比原点位相超前，与x反向。又题6.21图6.21 题6.21图中的曲线（a）和（b）分别表示t=0和t=2.0秒的某一平面间谐波的波形图，试写出此平面简谐波的表达式。解：从曲线（a）可以看出A=2，l=2，用余弦函数表示时。所以，从曲线（
12、a）到（b）t=2s，又 ，所以，所以，波函数为6.22 设在某一时刻，一个向右传播的平面简谐横波的波形曲线如图所示，试分别说明图中A、B、C、D等各点在该时刻的振动方向，并作出T/4前和T/4后的波形图。题6.22图解：题5.23图6.23 已知一列波速为v、沿x正向传播的波在t=0时的波形曲线如图所示，画出图中A，B，C，D各点在第一周期内的振动曲线。解：A点，t=0时，y=-A，振动表达式 B点，t=0时，y0=0，并且（见图）所以， C点，所以，所以D点，所以，所以6.24 在直径为14厘米的直管中传播的平面简谐波，其平均能流密度为9.010-3瓦/米，频率n=300赫兹，波速v=30
13、0米/秒，求（1）最大能量密度和平均能量密度；（2）相邻两同相位波面间（即相位差为2p的两波面间）的总能量。解：（1）因为（2）6.25 声波是流体或固体中的压缩波，在讨论声波时，讨论声波中的压强（即压力）变化要比讨论声波中质元的位移更方便些，可以证明，当声波的位移波函数为时，对应于压力变化的波函数为，P是相对于未扰动时的压力p0的压强变化值，r0是介质的体密度。（1）人耳能够忍受的强声波中的最大压强变化pm约为28牛顿/米2（正常的大气压强约为1.0105牛顿/米2)，若这一强声波的频率为1000赫兹，试求这声波所对应的最大位移。（2）在频率为1000赫兹的声波中，可以听得出最微弱的声音的压
14、强振幅约为2.010-5牛顿/米2，试求相应的位移振幅，设r0=1.29千克/米2，v=321米/秒。解：（1）最大位移：因为，所以（2）最小位移：6.26 无线电波以3.0108米/秒的速度传播，有一无线电波的波源功率为50千瓦，假设该波源在各向同性介质中发射球面波，求离波源200公里远处无线电波的能量密度。解：6.27 如图所示，设B点发出的平面横波在B点的振动表达式为，沿方向传播；C点发出的平面横波在C点的振动表达式为，沿方向传播，两式中各量均为SI单位，设=0.40米，=0.50米，波速为0.2米/秒，求（1）两列波传到P处时的相位差；（2）如果这两列波的振动方向相同，求P点的合成振幅；(3）如果这两列波的振动方向垂直，则合成振动的振幅如何？题6.27图解：（1） 是两同频率的波（2）如果振动方向也相同，得到两相干波，则（3）如果振动方向垂直又同相，合成后仍是谐振动， 则6.28 题6.28图表示一个声学干涉仪，它是用来演示声波的干涉，S是电磁铁作用下的振动膜片，D是声波探测器，例如耳朵或传声
