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1、关于连续归纳法叶荣臻（浙江师范大学数学与应用数学103班）摘要：连续归纳法的理论基础是实数的连续性定理，实数的连续归 纳法同自然数的数学归纳法是极为相似的，这说明连续的实数系与离 散的正整数系具有某种程序的统一性。本文给出了四种常见的连续归纳法的形式及其详细的证明过程，并列举了一些连续归纳法的应用。一、几种常见的连续归纳法及其证明定理1（连续归纳法）：设尸是一个关于实数x的命题，如果：（1】存在某个实数x0，使对一切实数尤v x0，有成立.（2）若对一切实数;vy有尸成立，则有8 0 /使尸对一切实数x v y+8也 成立.那么对一切实数x，有尸成立.x定理2 （新形式的连续归纳法）：设尸是一
2、个关于实数x的命题，如果： x（1）存在某个实数x0，使对一切实数x x0，有成立.（2）若对一切实数我y有尸成立，则有8 0 /使尸对一切实数x y-8也 成立.那么对一切实数x，有尸成立.x为证明定理1和定理2，先给出戴德金定理.戴德金分割设人与4是实数集人的两个非空子集，A u A =R，且A中的任一个数都比A 中的任一个数小，则或者人中有最大数，或者A中有最小数，二者必居其一， 且仅居其一.以下证明定理1和定理2.证明（定理1 ）用反证法.若定理1不成立，则有一个关于实数X的命题p, 使定理1中的（1）和（2）都成立，但仍有X使得P不成立.约定：若对二X切x e（ -3, V）有P成立
3、，则j属于&其余的实数属于A.显然A与A均非空.这是因为（1）X保证了 A非空，而反证法假设P不成立则保证了 A非空.Xa.由4的做法可知4中的每一个数比A中任一数大，由戴德金分割，A中有最 大数或4中有最小数，记此数为对任一 x w（ -3, a）,由于j = X + a a，故j是4中的元素，而x 0 :使P对一切实数x b，故j是4中的元素，而x X + ， 1212即x w（j, +3），由4,的定义知P成立，即对于一切x w（ b, +3）有P成立.由 定理2中的（2）知，有8 b 0使P对一切实数x b -8 b成立.这就推出了 b-8/ 4,这与。是4中的最大数或4中最小数矛盾从
4、而否定了反证法的假设. 证毕:定理3 （第二连续归纳法）：设P是一个关于实数尤的命题，a v b是任意两个实数，如果：（1）有不小于a的实数X，对一切a X X，有P成立.00X（2）有实数j 0, j + 8 b，使P对 一切实数x v j + 8也成立.那么，对一切实数x w a,b，P成立.X证明由定理1已知连续归纳法成立，以下证明第二连续归纳法成立构造一个实数c的命题P*，使得在 e a,b时，P *仍为P，而当X XXXb时，P *： x=x.X(1) 由于有不小于的实数，使对一切 X X，有尸成立，因而此时P *也成立于是，对于使命题P成立的实数X0，对一切实数 X。，有P*成立X
5、(2) 由于对于实数x y 0, y + 6 b，P对一 切实数yxxb时，P *显然成立.X于是，由连续归纳法知，P*对一切实数成立X因此，第二连续归纳法成立证毕.定理4 :设P是一个关于实数X的命题，a b是任意两个实数，如果：X(1) 有实数x e a, b，对一切x x b，有P成立.(2) 若对一切实数a y x 0,使P对一切实数a y-6 工也成立.那么，对一切实数x e a, b, P成立.X证明略.二、连续归纳法的应用例1：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则/(x)在a,b上有界.证明：引入命题P(x)： “f (x)在a,x u a,b上界.(1) 取尤=a，则对一切x
6、=a =x， P(x)成立.(2) 若P(X)对一切a x y bk立，由于fy连续，故有(以,p)，使得y e以,p u a,b,并且在(以,P)上有界.在(a,y)内取气，则f在b,x1上有界，又在x , P上有界，从而在(b, P)上有界.取P-y = 6,则对任一个x y+s =P b，1P(X)成立.由第二连续归纳法，P(x)对所有x e a,b成立，艮f(x)在a,b上有界.例2 (Din定理)设连续函数序翼(X)在有限区间a,b上逐点收敛于连续函 数f (x)，且对任何Xea,b, f (x)都是单调数列，则(x)于a,b上一致收敛 于f ( x).证明：记,(x) = f (x
7、)-f (x),依题设对任仰e a,b, r (x)单调趋于.只需证明r (x)在a,b一致收敛于.不妨设当X b时，r (x)= nnnnr (b), n =1,2,3.构造命瞬：“r (x)在(-3，+3)上一致收敛于”.(1) 取x =a，显然对一切x x, P(x)成立.(2) 假设对一切x b,由归纳假设对一切尤 0,存在正整数七 当 N时，有M(x)| N)在y处连续，所以对上述存在Q 0,对一切x e (y-8, y + 8)，有 | r (x)| 0,当n N时，对一切x e(-8, y-8 / 2有 |r (x)| N 时对一切 x y + 8 有 |r (x)| ，亦 即对一切x y + 8有P(x)成立.n由连续归纳法，P(x)对一切实数尤成立.从而r (x)在a,b上一致收敛于0.【参考文献】1张景中.连续归纳法与一般归纳原理J.四川教育学院学报，1986(1):18.赵文静.关于第二连续归纳法原理J.南京师大学报，2002,25(3):116117.3 李涛,张景中.连续归纳法的新证明及其应用举例J.科技导报，2012,30(17):54 55.4 张景中，冯勇.有序集的一般归纳原理和连续归纳法J.科技导报,2008,26(6):24 27.
