《2013湖南高考数学(理)详解(精校word).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013湖南高考数学(理)详解(精校word).doc（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于【 B 】A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是【 D 】A抽签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法 3.在锐角中，角所对的边长分别为.若【 D 】ABCD
2、 4.若变量满足约束条件，【 C 】ABCD 5.函数的图像与函数的图像的交点个数为【 B 】A3B2C1D0 6. 已知是单位向量，.若向量满足，则的取值范围是【 A 】AB CD 7已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于【 C 】ABCD 图18.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于【 D 】AB CD 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）图29.在平面直角坐标系中
3、，若（为参数）过椭圆（为参数）的右顶点，则常数.10.已知.11.如图2，在半径为的中,弦相交于点则圆心 到弦的距离为.（二）必做题（12-16题）12.若，则常数的值为.图3输入输出结束开始13.执行如图3所示的程序框图，如果输入则输出的的值为.14设是双曲线的两个焦点，是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为.15设为数列的前n项和，则（1）；（2）.16设函数（1）记集合不能构成一个三角形的三条边长，且，则所对应的的零点的取值集合为.（2）若是的三条边长，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）使不能构成一个三角形的三条边长，若为钝角三角形，则使.三、解答题：本大题共6小题，共
4、75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知函数。（I）若是第一象限角，且. 求的值；（II）求使成立的的取值集合.解 ，.（I）由得，又是第一象限角，所以，从而.（II）等价于，于是.从而，即.故使成立的的取值集合为.18（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：kg）与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：123451484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。（I）从三角形地块的内部和
5、边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。图4解（I）所种作物总株数，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有种，故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为.（II）先求从所种随机选取一株作物的年收获量的分布列.因为所以只需求出即可.记为其“相近”作物恰有株的作物株数，则由得故所求的分布列为51484542故所求数学期望为：图519（本小题满分12分）如图5，在直棱柱（I
6、）证明：；（II）求直线与平面所成角的正弦值.解（I）如图1，因为平面，平面，所以,又平面.而平面.所以.图(1)（II）因为，所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，（记为）. 如图(1) ，连接，因为棱柱是直棱柱，且，所以平面，从而，又。所以四边形是正方形，于是，故平面，于是.由（I）知，,所以平面，故在直角梯形中，因为，所以，从而，故，即.连接,易知是直角三角形，且，即在中，,即.从而，即直线所成角的正弦值为.解法2（I）易知，两两垂直，如图(2).，以为坐标原点，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则相关各点的坐标为：图(2)从而，因为，所以或（舍去）.于是，因为，即（I
7、I）由（I）知，设是平面的一个法向量，则，令则设直线与平面所成角为，则即直线所成角的正弦值为.20（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“路径”。如图6所示的路径都是M到N的“路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面内三点处。现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点P处修建一个文化中心。（I）写出点P到居民区A的“路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。图6解 设点的坐标为.（I）点到居民区A的“
8、L路径”长度最小值为.（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值. 当时，因为（*）当且仅当时，不等式（*）中的等号成立.又因为（* *）当且仅当时，不等式（* *）中的等号成立.当且仅当时，等号成立.当且仅当时，等号成立.故点的坐标为时，P到三个居民区的“L路径”长度值和最小，且最小值为45.当时，由于“L路径”不能进入保护区，所以此时由知，当且仅当时等号成立.综上所述，在点处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度值和最小。21（本小题满分13分）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直
9、线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为。（I）若，证明；（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程. 解（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线的方程为，由得所以点的坐标为同理可得点的坐标为，于是由题设， 故.（II）由抛物线的定义得所以，从而圆M的半径，故圆M的方程为化简得同理可得圆N的方程为 于是圆M，圆N的公共弦所在的直线的方程为.又直线的方程为.因为，所以点到直线的距离.故当时，取最小值由题设，解得.故所求的抛物线E的方程为22（本小题满分13分）已知，函数.（I）记在区间上的最大值为，求的表达式；（II）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。解（I）当时，；当时，因此，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；若则在上单调递减，若则在上单调递减，在上单调递增.所以故当时，时， 综上所述，（II）由（I）知，当时，在上单调递减，故不满足要求.当则在上单调递减，在上单调递增.若存在使曲线在两点处的切线相互垂直，则即亦即（*）由得故（*）成立等价于集合与集合的交集非空.因为，所以当且仅当即时，.综上所述，存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直，且的取值范围是第 3 页 共 8 页
