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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于【 B 】A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是【 D 】A抽签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法 3.在锐角中,角所对的边长分别为.若【 D 】ABCD
2、 4.若变量满足约束条件,【 C 】ABCD 5.函数的图像与函数的图像的交点个数为【 B 】A3B2C1D0 6. 已知是单位向量,.若向量满足,则的取值范围是【 A 】AB CD 7已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于【 C 】ABCD 图18.在等腰三角形中,点是边上异于的一点,光线从点出发,经发射后又回到原点(如图).若光线经过的中心,则等于【 D 】AB CD 二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分)图29.在平面直角坐标系中
3、,若(为参数)过椭圆(为参数)的右顶点,则常数.10.已知.11.如图2,在半径为的中,弦相交于点则圆心 到弦的距离为.(二)必做题(12-16题)12.若,则常数的值为.图3输入输出结束开始13.执行如图3所示的程序框图,如果输入则输出的的值为.14设是双曲线的两个焦点,是C上一点,若且的最小内角为,则C的离心率为.15设为数列的前n项和,则(1);(2).16设函数(1)记集合不能构成一个三角形的三条边长,且,则所对应的的零点的取值集合为.(2)若是的三条边长,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)使不能构成一个三角形的三条边长,若为钝角三角形,则使.三、解答题:本大题共6小题,共
4、75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(本小题满分12分)已知函数。(I)若是第一象限角,且. 求的值;(II)求使成立的的取值集合.解 ,.(I)由得,又是第一象限角,所以,从而.(II)等价于,于是.从而,即.故使成立的的取值集合为.18(本小题满分12分)某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量(单位:kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示:123451484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。(I)从三角形地块的内部和
5、边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望。图4解(I)所种作物总株数,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有种,故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为.(II)先求从所种随机选取一株作物的年收获量的分布列.因为所以只需求出即可.记为其“相近”作物恰有株的作物株数,则由得故所求的分布列为51484542故所求数学期望为:图519(本小题满分12分)如图5,在直棱柱(I
6、)证明:;(II)求直线与平面所成角的正弦值.解(I)如图1,因为平面,平面,所以,又平面.而平面.所以.图(1)(II)因为,所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角,(记为). 如图(1) ,连接,因为棱柱是直棱柱,且,所以平面,从而,又。所以四边形是正方形,于是,故平面,于是.由(I)知,,所以平面,故在直角梯形中,因为,所以,从而,故,即.连接,易知是直角三角形,且,即在中,,即.从而,即直线所成角的正弦值为.解法2(I)易知,两两垂直,如图(2).,以为坐标原点,所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,设,则相关各点的坐标为:图(2)从而,因为,所以或(舍去).于是,因为,即(I
7、I)由(I)知,设是平面的一个法向量,则,令则设直线与平面所成角为,则即直线所成角的正弦值为.20(本小题满分13分)在平面直角坐标系中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“路径”。如图6所示的路径都是M到N的“路径”。某地有三个新建的居民区,分别位于平面内三点处。现计划在轴上方区域(包含轴)内的某一点P处修建一个文化中心。(I)写出点P到居民区A的“路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。图6解 设点的坐标为.(I)点到居民区A的“
8、L路径”长度最小值为.(II)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值. 当时,因为(*)当且仅当时,不等式(*)中的等号成立.又因为(* *)当且仅当时,不等式(* *)中的等号成立.当且仅当时,等号成立.当且仅当时,等号成立.故点的坐标为时,P到三个居民区的“L路径”长度值和最小,且最小值为45.当时,由于“L路径”不能进入保护区,所以此时由知,当且仅当时等号成立.综上所述,在点处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度值和最小。21(本小题满分13分)过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直
9、线,且,相交于点A,B,相交于点C,D。以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为。(I)若,证明;(II)若点M到直线的距离的最小值为,求抛物线E的方程. 解(I)由题意,抛物线E的焦点为,直线的方程为,由得所以点的坐标为同理可得点的坐标为,于是由题设, 故.(II)由抛物线的定义得所以,从而圆M的半径,故圆M的方程为化简得同理可得圆N的方程为 于是圆M,圆N的公共弦所在的直线的方程为.又直线的方程为.因为,所以点到直线的距离.故当时,取最小值由题设,解得.故所求的抛物线E的方程为22(本小题满分13分)已知,函数.(I)记在区间上的最大值为,求的表达式;(II)是否存在,使函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由。解(I)当时,;当时,因此,当时,在上单调递减;当时,在上单调递减;若则在上单调递减,若则在上单调递减,在上单调递增.所以故当时,时, 综上所述,(II)由(I)知,当时,在上单调递减,故不满足要求.当则在上单调递减,在上单调递增.若存在使曲线在两点处的切线相互垂直,则即亦即(*)由得故(*)成立等价于集合与集合的交集非空.因为,所以当且仅当即时,.综上所述,存在,使函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直,且的取值范围是第 3 页 共 8 页