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1、面板数据模型1面板数据定义。 面板数据用双下标变量表示。例如yi t, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , TN表示面板数据中含有N个个体。T表示时间序列的最大长度。若固定t不变，yi ., ( i = 1, 2, , N)是横截面上的N个随机变量；若固定i不变，y. t, (t = 1, 2, , T)是纵剖面上的一个时间序列（个体）。2面板数据的估计。用面板数据建立的模型通常有3种。即混合估计模型、固定效应模型和随机效应模型。2.1 混合估计模型。如果从时间上看，不同个体之间不存在显著性差异；从截面上看，不同截面之间也不存在显著性差异，那么就可以直接把面板数据混合在一起用
2、普通最小二乘法（OLS）估计参数。如果从时间和截面看模型截距都不为零，且是一个相同的常数，以二变量模型为例，则建立如下模型， yit = a +b1 xit +eit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T (1)a 和b1不随i，t变化。称模型(1)为混合估计模型。2.2 固定效应模型。在面板数据散点图中，如果对于不同的截面或不同的时间序列，模型的截距是不同的，则可以采用在模型中加虚拟变量的方法估计回归参数，称此种模型为固定效应模型（fixed effects regression model）。固定效应模型分为3种类型，即个体固定效应模型（entity fixed ef
3、fects regression model）、时刻固定效应模型（time fixed effects regression model）和时刻个体固定效应模型（time and entity fixed effects regression model）。下面分别介绍。（1）个体固定效应模型。个体固定效应模型就是对于不同的个体有不同截距的模型。如果对于不同的时间序列（个体）截距是不同的，但是对于不同的横截面，模型的截距没有显著性变化，那么就应该建立个体固定效应模型，表示如下， yit = b1 xit +g1 W1 + g2 W2 + +gN WN +eit, t = 1, 2, , T (
4、3)其中Wi =eit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T，表示随机误差项。yit, xit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T分别表示被解释变量和解释变量。模 面板数据模型用OLS方法估计时应满足如下5个假定条件：（1）E(eit|xi1, xi2, , xiT, ai) = 0。以xi1, xi2, , xiT, ai为条件的eit的期望等于零。（2）(xi1, xi2, , xiT), ( yi1, yi2, , yiT), i = 1, 2, , N分别来自于同一个联合分布总体，并相互独立。（3）(xit, eit)具有非零的有限值4阶矩
5、。（4）解释变量之间不存在完全共线性。（5）Cov(eit eis|xit,xis, ai) = 0, t s。在固定效应模型中随机误差项eit在时间上是非自相关的。其中xit代表一个或多个解释变量。对模型（1）进行OLS估计，全部参数估计量都是无偏的和一致的。模型的自由度是N T 1N。 当模型含有k个解释变量，且N很大，相对较小时，因为模型中含有k + N个被估参数，一般软件执行OLS运算很困难。在计量经济学软件中是采用一种特殊处理方式进行OLS估计。估计原理是，先用每个变量减其组内均值，把数据中心化（entity-demeaned），然后用变换的数据先估计个体固定效应模型的回归系数（不包
6、括截距项），然后利用组内均值等式计算截距项。这种方法计算起来速度快。具体分3步如下。（1）首先把变量中心化（entity-demeaned）。仍以单解释变量模型（3）为例，则有 = gi + b1+, i = 1, 2, , N (4)其中=，=，=, i = 1, 2, , N。公式(1)、(4)相减得， (yit -) = b1(xit -) + (eit -) (5)令(yit -) =，(xit -) =，(eit -) =，上式写为 = b1+ (6)用OLS法估计（1）、（6）式中的b1，结果是一样的，但是用（6）式估计，可以减少被估参数个数。（2）用OLS法估计回归参数（不包括截
7、距项，即固定效应）。 在k个解释变量条件下，把用向量形式表示，则利用中心化数据，按OLS法估计公式计算个体固定效应模型中回归参数估计量的方差协方差矩阵估计式如下，() = ()-1 (7)其中=，是相对于的残差向量。（3）计算回归模型截距项，即固定效应参数gi。=- (8) EViwes估计方法：在EViwes的Pooled Estimation对话框中Intercept选项中选Fixed effects。其余选项同上。 相对于混合估计模型来说，是否有必要建立个体固定效应模型可以通过F检验来完成。原假设H0：不同个体的模型截距项相同（建立混合估计模型）。备择假设H1：不同个体的模型截距项不同（
8、建立个体固定效应模型）。F统计量定义为：F= (9)其中SSEr，SSEu分别表示约束模型（混合估计模型）和非约束模型（个体固定效应模型）的残差平方和。非约束模型比约束模型多了N-1个被估参数。（混合估计模型给出公共截距项。）注意：当模型中含有k个解释变量时，F统计量的分母自由度是NT-N-k。 （2）时刻固定效应模型。时刻固定效应模型就是对于不同的截面（时刻点）有不同截距的模型。如果确知对于不同的截面，模型的截距显著不同，但是对于不同的时间序列（个体）截距是相同的，那么应该建立时刻固定效应模型，表示如下， yit = b1 xit +a1 + a2 D2 + +aT DT +eit, i =
9、 1, 2, , N (10)其中Dt =eit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T，表示随机误差项。yi t, xit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T分别表示被解释变量和解释变量。模 , N如果满足上述模型假定条件，对模型（2）进行OLS估计，全部参数估计量都具有无偏性和一致性。模型的自由度是N T T-1。 相对于混合估计模型来说，是否有必要建立时刻固定效应模型可以通过F检验来完成。H0：对于不同横截面模型截距项相同（建立混合估计模型）。H1：对于不同横截面模型的截距项不同（建立时刻固定效应模型）。F统计量定义为：F= (11)其中SSE
10、r，SSEu分别表示约束模型（混合估计模型的）和非约束模型（时刻固定效应模型的）的残差平方和。非约束模型比约束模型多了T-1个被估参数。注意：当模型中含有k个解释变量时，F统计量的分母自由度是NT-T- k。 （3）时刻个体固定效应模型。时刻个体固定效应模型就是对于不同的截面（时刻点）、不同的时间序列（个体）都有不同截距的模型。如果确知对于不同的截面、不同的时间序列（个体）模型的截距都显著地不相同，那么应该建立时刻个体效应模型，表示如下，yit = b1 xit +a1+a2D2 +aT DT +g1W1+g2W2 +gN WN+eit, i=1,2,N，t = 1, 2, , T (12)其
11、中虚拟变量Dt = （注意不是从1开始）Wi = （注意是从1开始）eit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T，表示随机误差项。yi t, xit, (i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T)分别表示被解释变量和解释变量。 如果满足上述模型假定条件，对模型（12）进行OLS估计，全部参数估计量都是无偏的和一致的。模型的自由度是N T NT。注意：当模型中含有k个解释变量时，F统计量的分母自由度是NT N -T- k+1。 相对于混合估计模型来说，是否有必要建立时刻个体固定效应模型可以通过F检验来完成。H0：对于不同横截面，不同序列，模型截距项都相同（建
12、立混合估计模型）。H1：不同横截面，不同序列，模型截距项各不相同（建立时刻个体固定效应模型）。F统计量定义为：F= (13)其中SSEr，SSEu分别表示约束模型（混合估计模型的）和非约束模型（时刻个体固定效应模型的）的残差平方和。非约束模型比约束模型多了N+T个被估参数。 （4）随机效应模型在固定效应模型中采用虚拟变量的原因是解释被解释变量的信息不够完整。也可以通过对误差项的分解来描述这种信息的缺失。 yit = a + b1 xit + eit (14)其中误差项在时间上和截面上都是相关的，用3个分量表示如下。eit = ui + vt + wit (15)其中ui N(0, su2)表示
13、截面随机误差分量；vt N(0, sv2)表示时间随机误差分量；wit N(0, sw2)表示混和随机误差分量。同时还假定ui，vt，wit之间互不相关，各自分别不存在截面自相关、时间自相关和混和自相关。上述模型称为随机效应模型。随机效应模型和固定效应模型比较，相当于把固定效应模型中的截距项看成两个随机变量。一个是截面随机误差项（ui），一个是时间随机误差项（vt）。如果这两个随机误差项都服从正态分布，对模型估计时就能够节省自由度，因为此条件下只需要估计两个随机误差项的均值和方差。假定固定效应模型中的截距项包括了截面随机误差项和时间随机误差项的平均效应，而且对均值的离差分别是ui和vt，固定效应模型就变成了随机效应模型。为了容易理解，先假定模型中只存在截面随机误差项ui，不存在时间随机误差分量（vt）， yit = a + b1 xit + (wit+ ui) = a + b1 xit +eit (16)截面随机误差项ui是属于第个个体的随机波动分量，并在整个时间范围(t = 1,2, , T)保持不变。随机误差项ui, wit应满足如下条件：E(ui) =0, E(wit) = 0E(wit 2
