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1、第二章函数的 敛散性与极限第一节 数列的极限极限的概念是高等数学最基本的一个概念，以后将介绍的导数，定积分等重要的概念都是建立在极限概念之上的。先介绍数列（特殊函数）极限的概念。一、实例具体分析某一数列的视角有多个，但数列一般项的变化趋势无疑是最值得重视的。高中数学都是通过实例引入数列极限概念的。观察下列数列：(1) 递增无限接近于1(2) ； 递减无限接近于0（3）交错无限接近于0n无限增大时,以上数列与某一常数无限接近。(4) 交错 (5) 无限增大（6） 无限递减n无限增大时以上数列无上述变化趋势。将数列的这一变化趋势用普通语言描述出来就是中学所介绍的极限的直观描述性定义二、概念1.定性
2、定义：对于数列，如果存在一个常数a ，当n无限增大时(记为)，与常数a无限接近（就把常数a叫做数列的极限。记作= a；有时也可记做：a（）.这个定义无疑是正确的。但缺乏数学形式的精确的、量化的刻画，比如：什么叫n无限增大时与常数a无限接近 ？所谓“无限接近”即它们的距离可以任意的小，用数学语言说就是：可以任意的小。以数列(2)为例：就是当n无限增大时， 的项与0的差的绝对值 可以任意的小。比如， 要使， 即要， 只要；要使，即要，只要；容易看出: 要使任意小，只要项数n充分大。我们引入e 表示任意小的数（应为正数），上面的表述改述为 “”. 即在大于的这一项后面的所有项与0的差的绝对值都小于.
3、可更简单地说成“只要项数 ”，如果再把满足不等式的项数n更明确化,找到正整数N ，再让n N，我们再用宽泛的“存在”取代“找到”，上面的表述就变为：存在正整数N，当n N时，就有.现在我们可以从对实例的分析抽象出一般数列极限的定量性质的定义了：2.定量定义 设有数列与常数，如果对于任意给定的正数e（无论它多么小），总存在正整数N，使得n N时，恒有|-|N|-|N ”刻画n足够大。N的存在性是保证|-|N时|-| .三、数列极限的几何解释 把数列的项都摆在数轴上（图），于是，都是数轴上的点。设有一个动点在数轴上跳动，动点的第一个位置在点，第二个位置在点x1，第个位置在点xn，。根据=的定义，再
4、由 |-|0）之内。所以，可以说是用一个数极限数值，把握住了一系列无限多个数中除去有限个之后的所有的数，高度实现了由简驭繁的功效。极限问题，是有限与无限、量变与质变的辨证统一。 四、用定义证明数列极限例题例1 试证明数列的极限为1.证 |-|=|-1|=. 0,要使|-1|,只要，取自然数N为的整数部，即取N=，则当N时，|-1|. .注 用数列极限的定义来证明某个数列以某个常数为极限时（或说用数列极限定义来验证已知数列和已知常数的极限关系），关键是证明N的存在性，找到了就证明了存在。通常是从要满足的不等式|-|0, 要使，只要，即，取N =，则时，0,不等式|- |0 N |-|. 由例3可
5、以得出一般性结论：恒取常值的数列，以这个常值为极限。 例4 设|q|1，证明.证 q = 0时，结论显然成立。以下设 0|q| 0,要使，只要，两边取自然对数，得，即，取N =，取，则，. 五、性质1、极限的唯一性 数列不能收敛与两个不同的极限证 （反证法）假设同时有及，且。取。因为，故存在正整数，使得对于的一切，不等式 （1）都成立。同理，因为，故存在正整数，使得对于的一切，不等式 （2）都成立。取，则当时，（1）、（2）会同时成立。但由（1）有 ，由（2）有，矛盾。2、 收敛数列的有界性 若数列收敛，则是有界数列。（或一定有界）有界数列 如果$正数M， n，恒有.分析 求证数列有界，即证明MR+，使得N | M.要从数列极限定义入手，寻找合适的常数M.证 设=，则对于=1，N N，使得N|N| N时|-|N时|-|.充分性（略）
