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1、高中数学第三章三角恒等变换3.2.1两角差的余弦函数教案北师大版必修41.2.1 两角差的余弦函数整体设计教学分析 本节教材的安排是从复习向量引入,直接利用向量的知识推导了两角差的余弦公式,并单独作为一节.这样安排的用意是想突出两角差的余弦函数,从逻辑关系上来看,本章的其他所有公式都是以两角差的余弦为基础变化而来的,这对学生来说,学习本章就有一个清晰的逻辑关系.同时也突出体现了向量这一工具的强大威力,使第二章的向量有了用武之地. 本节作为全章的重要课时,对于如何推导两角差的余弦公式可做多方面的设计探讨,因为凭直觉得出cos(-)=cos-cos是学生经常出现的错误.因此在教学中,也可引导学生对
2、cos(-)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假,这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出推导证明“两角差的余弦公式”的方案.这对发展学生的思维有一定的好处.由此可得两种推导思路:一是引导学生利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出-角,利用学过的三角函数知识探索,联系已经学过的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然的.但学生独立地运用单位圆上的三角函数线进行探索存在一定的困难,教师要作恰当地引导.二是引导学生充分利用向量数量积探究两角差的余弦公式,但要抓住三个要点:在回顾求角的余弦有哪些方法时,注意联系向量
3、知识,体会向量方法的作用;结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其讨论线索进行探索,然后再作反思,予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则),其中完善的过程既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式. 本节主要是对数学公式的发现探究的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:要使学生了解公式的来龙去脉;使学生认识公式的结构特征加以记忆;使学生掌握公式的推导和证明过程;通过应用举例使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题,也为推导其他和差公式作准备.三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角
4、差的余弦公式”,了解单角与差角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习兴趣,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和善于运用数形结合等数学思想方法的能力.重点难点
5、 教学重点:探索两角差的余弦公式,理解其推导过程,并会用两角差的公式进行简单的化简、求值等. 教学难点:两角差的余弦公式的探索与证明.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)我们在初中时就知道cos45=,cos30=,由此我们猜想:能否得到cos15=cos(45-30)=?这里是不是等于cos45-cos30呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的！那么究竟是个什么关系呢?cos(-)=?这时学生急于想知道这究竟是怎么回事,由此展开新课:我们是利用熟悉的单位圆呢？还是利用刚刚学过的重要工具向量呢？思路2.(单刀直入)直接提出向量的主要作用之一就是解决几何度量问题,如
6、长度、夹角的问题.教师让学生利用单位圆及向量的数量积的知识,并结合课件直接进行差角的余弦公式探究的学习.推进新课新知探究提出问题(实际教学可按一种思路即可,这里按两种思路设计)让学生猜想cos(-)=?你认为cos(-)=cos-cos对吗？举例验证.回忆前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用、的三角函数来表示cos(-)呢？回忆向量的数量积的知识及向量方法的作用,结合单位圆能找到两个单位向量其夹角是-吗？得到cos(-)公式后,它有哪些特征？其中、角的取值范围是任意的吗？类比前面学过的诱导公式及同角的基本关系式的应用,如何正用、逆用、灵活运用两角差的余弦公式进行求值、化简与证明呢？思路一:提
7、出问题后,教师大胆放开,不要以担心学生找不到方向或花费过多时间为由而包揽一切,要让学生充分发挥想象能力,自主探究.学生很容易想到cos(-)=cos-cos？的问题,也会马上由特殊角来验证它的正确性,如:=60、=30,则cos(-)=cos30=,而cos-cos=,这一反例足以说明了cos(-)cos-cos(当然它也不是对任意角、都不成立的),从而进一步明确了“恒等”的意义,统一对探索目标的认识,也为后面以此公式为基础去推导其他和差公式作了准备.图1 既然cos(-)cos-cos,那么cos(-)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,即-这个角的余弦问题,学生会迁移前面学过的
8、知识与方法,很自然地联想到利用单位圆上的三角函数线来探究(如图1).设角的终边与单位圆的交点为P1,POP1=,则POx=-,过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角-的余弦线,即OM=cos(-),这里就是要用角、的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C.那么,OA表示cos,AP表示sin,并且PAC=P1Ox=于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcos+APsin=coscos+sinsin.所以cos(-)=coscos+sinsin. 以上等式还需说明角的任意性问题,因此教师适时地引
9、导学生进一步思考:在以上的推理过程中,角、-是有条件限制的,即、-均为锐角,且,如果要说明此结果对任意角、都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较烦琐,可由同学们课后动手试一试.由此我们得到两角差的余弦公式,即对任意角、,以下等式恒成立:cos(-)=coscos+sinsin.思路二:在第二章我们已经学习了向量的知识.向量的主要作用之一是讨论几何度量问题,例如,长度和角度的问题.从向量数量积的定义:ab=|a|b|cos(0),我们知道:任何向量与自身的数量积为向量长度的平方;两个单位向量的数量积就等于它们之间夹角的余弦函数值,反映了它们之间夹角的大小.向量的方法为我们探索三角
10、函数关系提供了一种非常重要的思想方法.图2在直角坐标系中(如图2).以原点为中心,单位长度为半径作单位圆,又以原点为顶点,x轴非负半轴为始边分别作角、,且.我们首先研究、均为锐角的情况.设它们的终边分别交单位圆于点P1(cos,sin),P2(cos,sin),即=(cos,sin),=(cos,sin),P1OP2= -,这样,我们就得到两个单位向量,由于这两个向量的夹角为-,所以我们可以得到:=|cos(-)=cos(-).另一方面,向量数量积可以用坐标表示,因此我们又可以得到:=(cos,sin)(cos,sin)=coscos+sinsin.由两式,我们就可得到一个非常重要的三角函数公
11、式:cos(-)=coscos+sinsin. 通过以上利用向量数量积的推导,我们发现,运用向量工具进行探索,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角-必须符合条件0-,以上结论才正确.由于、都是任意角,-也是任意角,因此就需探究当-是任意角时,以上公式是否正确的问题.当-是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角0,2,使cos=cos(-),若0,则=cos=cos(-),若,2,则2-0,且=cos(2-)=cos=cos(-).由此可知,对于任意角、都有cos(-)=coscos+sinsin 推导完两角差的余弦公式后,教师要留给学生一定的时间进行回顾反思,以理顺并领悟探究过程与思想方法
12、.如两种思路都让学生探究了,要对这两种方法进行比较反思,教师不要怕在这里浪费时间.然后再引导学生细心观察公式C-的结构特征,与学生一起归纳发现:公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了.结合推导过程及公式特征进行记忆.对于公式的正用是比较容易的,有时要用到“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧,可在练习运用中得以掌握提高.如:cos75cos45+sin75sin45=cos(75-45)=cos30=,cos=cos
13、(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin等.讨论结果:略.应用示例例1 利用差角余弦公式求cos15的值.活动:先让学生自己探究,教师可对有困难的学生点拨指导,思考题目中的角15,它可以拆分为哪些特殊角的差,如:15=45-30或者15=60-45,从而就可以直接应用公式C-计算求值.教师不要包办替代学生的探究活动,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构.公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=方法二:cos15=cos(
14、60-45)=cos60cos45+sin60sin45=.点评:本题是指定方法求cos15的值,属于套用公式型的,但是仍需要学生对这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式作进一步探究,提高学生灵活运用公式求值的能力.变式训练1.不查表求sin75,sin15的值.解:sin75=cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=.sin15=cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=.点评:本题是例题的变式,学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110cos20+sin110sin20.解:原式=cos(110-20)=cos90=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C-的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110-20)的值.这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性,发散性.例2 计算:(1)cos(-15);(2)cos15cos105+sin15sin105;(3)sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y).活动:教师完全可以放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15=15-30或-15=45-60等
