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1、(完整word版)专题3.4 三角恒等变换(解析版)第三篇 三角函数与解三角形专题3。4 三角恒等变换【考纲要求】1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系4能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)。【命题趋势】三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查。【核心素养】本讲内容主要考查
2、数学运算、逻辑推理的核心素养。【素养清单基础知识】1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin（)sincoscossin。cos（）coscossinsin.tan(）。2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sincos。cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3有关公式的逆用、变形(1）tan tan tan（)（1tan tan ）(2）cos2,sin2（3）1sin 2(sin cos )2，1sin 2（sin cos )2，sin cos sin。（4）asin bcos sin（），asin bcos cos（）。【素养清单常用结论】常见的几种角的变换（
3、1)(）()。（2）2（)，2（）(3），2.【真题体验】1.【2019年高考全国卷理数】已知(0，)，2sin2=cos2+1,则sin=( ）A B C D【答案】B【解析】,，,又，又，故选B【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度,判断正余弦的正负,运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键,切记不能凭感觉解答本题时,先利用二倍角公式得到正余弦关系,再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案2.【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 .【答案】【解析】由，得,解得,或。，当时，上式当时，上式=综
4、上，【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养。采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值,然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.3。【2018年高考全国卷理数】若，则（ ）A BCD【答案】B【解析】.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算。4。【2018年高考全国卷II理数】若在是减函数,则的最大值是（ )A BC D【答案】A【解析】因为，所以由得，因此，从而的最大值为,故选A.【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调
5、减区间，再根据集合包含关系确定的最大值。函数的性质： （1)。(2)周期 （3）由 求对称轴. (4)由求增区间；由求减区间.5。【2017年高考全国理数】函数（）的最大值是 。【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：，由自变量的范围：可得:，当时,函数取得最大值1。【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次,它们常结合在一起,有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析。6.【2018年高考全国理数】已知，则_【答案】【解析】因为，
6、所以所以，因此【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.7.【2017年高考江苏卷】若则 【答案】【解析】故答案为【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般有如下两种思路：适当变换已知式，进而求得待求式的值；变换待求式,便于将已知式的值代入,从而达到解题的目的（3)给值求角：实质是转化为“给值求值，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角8。【2019年高考浙江卷】设函数。
7、（1）已知函数是偶函数,求的值;（2）求函数的值域【答案】（1）或；（2）【解析】(1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，即，故，所以又,因此或(2）因此,函数的值域是【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.9.【2017年高考江苏卷】已知向量（1）若ab，求的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值【解析】（1）因为，ab，所以若，则，与矛盾,故于是又,所以（2)因为,所以，从而于是,当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值【考法拓展题型解码】考法一三角函数式的化简解题技巧：三角函数式的
8、化简遵循的“三看”原则（1）一看式中各角:善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数(2）二看函数名称：看函数名称之间的差异,利用诱导公式、切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一(3)三看结构特征：分析结构特征,找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分“整式因式分解”“二次式配方”等【例1】 （1)已知0，则_.（2)化简:_。（3）化简:_.【答案】(1）cos （2)tan (3）【解析】 （1）由(0,)得00，所以cos sin 0，而（cos sin )21sin 21,所以cos sin 。(3）已知tan 22，且,则的值是(）A B
9、C32 D32【答案】C【解析】因为，所以tan 0,所以由tan 2 2可得tan .原式32.故选C【例3】 (1）设，为钝角,且sin ，cos ，则的值为（)A B C D或【答案】C【解析】因为，为钝角，sin ,cos ,所以cos ，sin ，所以cos（)cos cos sin sin 0。又（,2），所以。（2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_【答案】【解析】因为tan tan(）0，所以00，所以02，所以tan（2）1。因为tan 0，所以，20，所以2.考法三三角恒等变换与三角函数的综合问题归纳总结三角恒等变换的综合应用主要是将三角恒等变换与三角函数
10、的性质相结合，通过变换，将复杂的函数式化为yAsin（x)b的形式再研究性质在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题【例4】 设函数f（x）sin xcos xcos2x（0）的图象上相邻最高点与最低点的距离为.(1）求的值；(2）若函数yf(x)是奇函数，求函数g（x）cos（2x）在0,2上的单调递减区间【答案】见解析【解析】 (1）f(x）sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.设T为f（x）的最小正周期，由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为，得22f（x)max224。因为f(x)max1,所以2424，整理得T2.又因为0，T2，所以.（2）
11、由(1)可知f（x）sin，所以f（x)sin.因为yf（x)是奇函数,所以sin0.又因为0，所以，所以g(x)cos（2x)cos。令2k2x2k，kZ,则kxk，kZ,所以函数g（x)的单调递减区间是，kZ.又因为x0,2,所以当k0时，g（x）的单调递减区间为；当k1时，g（x）的单调递减区间为。所以函数g（x)在0，2上的单调递减区间是，。【易错警示】易错点化简求值时不能正确地确定函数值的符号【典例】 函数f（x)6cos2sin x3(0）在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形（1)求的值及f(x)的值域;(2）若f(x0），且x0，求f（x01)的值【错解】：（1)同正解（1）(2)f（x）2sin，f(x0)2sin.所以sin
