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1、第四局部 分析力学第 13 章 达朗贝尔原理上面几章我们是以牛顿定律为根底研究质点和质点系的动力学问题，给出了求解质点 和质点系动力学问题的普遍定理。这一章我们要学习求解非自由质点系动力学问题的新方 法达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。它在解 决运动求约束力方面显得特别方便，因此在工程中得到广泛的应用。13.1 达朗贝尔原理13.1.1惯性力质点的达朗贝尔原理设非自由质点的质量为 m，加速度为a，作用在质点上的主动力为 F，约束力为fn , 如图 13-1 所示。根据牛顿第二定律，有ma = F +FN将上式移项写为F+FN - ma=0 13-1引入记号F I
2、 = ma 13-2式 13-1成为F+FN +FI =0 13-3其中， FI 具有力的量纲，称为质点的惯性力，它是一个虚拟力，它的大小等于质点的质量 与加速度的乘积，方向与质点的加速度方向相反。式13-3是一个汇交力系的平衡方程，它表示：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系，称为质点的达朗贝尔原理 。此原理是法国科学家达朗贝尔于 1743 年提出的。FiFmma图 13-2图 13-1利用达朗贝尔原理在质点上虚加惯性力，将动力学问题转化成静力学平衡问题进展求 解的方法称为动静法。应当指出：1达朗贝尔原理并没有改变动力学问题的性质。因为质点实际上并不是受到力的作用而
3、真正处于平衡状态，而是假想地加在质点上的惯性力与作用在质点上的主动力、约束 力在形式上构成平衡力系。2惯性力是一种虚拟力，但它是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。例如，系在绳子一端质量为 m的小球，以速度 v，用手拉住小球在水平面内作匀速圆 周运动，如图13-2所示。小球受到绳子的拉力 F，使小球改变运动状态产生法向加速度a即F = man。小球对绳子的反作用力 F，=- F = - man，这是由于小球具有惯性，力图保 持其原有的运动状态，而对绳子施加的反作用力。3质点的加速度不仅可以由一个力引起，而且还可以由同时作用在质点上的几个力共同引起的。因此惯性力可以是对多个施力物体的反作用力
4、。例如圆锥摆，如图13-3所示，小球在摆线拉力 Ft和重力mg作用下作匀速圆周运动, 有Ft + mg = ma此时的惯性力为F I = ma = FT-mg = FT + ( mg )式中FT和mg分别为摆线和地球所受到小球的反作用力。由于它们不作用在同一物体 上，当然没有合力，但它们构成了小球的惯性力系。F img图 13-3zzzzzzz11 Ft1aI例题13-1有一圆锥摆，如图13-4所示，重为P 9.8 N的小球系于长为I 30 cm的绳 上，绳的另一端系在固定点 0 ,并与铅直线成60角。小球在水平面内作匀速圆周运动，Fi试求小球的速度和绳子的拉力。i8t FtbnF二iP图 1
5、3-4F；，即解：以小球为研究对象，受由重力P、，绳子的拉力Ft以及在小球上虚拟的惯性力,如图13-4所示。由于小球在水平面内作匀速圆周运动，其惯性力只有法向惯性力匚P匚aP v2Ingg l sin方向与法向加速度相反。由质点的达朗贝尔原理得Ft + P +F； = 0将上式向自然轴上投影，得下面的平衡方程nFni 10Ftsin0nFbi 10FtcosP0解得FP19.6NvFgl sin 22.1m/sTcosp13.1.2质点系的达朗贝尔原理设质点系由n个质点组成，其中第i个质点的质量为mj，加速度为a,，作用该质点 的主动力约束力Fn、惯性力Fh =- m,a,，由质点的达朗贝尔原
6、理第i个质点有Fi+FNi + Fu = O (i 1,2, ,n) 13-4式13-4说明：质点系中的每一个质点在主动 Fj、约束力FNi、惯性力F作用下在形式 上处于平衡。假设将作用在质点系上的力按外力和内力分，设第i个质点上的外力为、内力为Fii，式13-4为Fe+ Fii + Fii = 0 (i 1,2,n) 13-5式13-5说明：质点系中的每一个质点在外力F、内力F,、惯性力，作用下在形式上处于平衡。对于整个质点系而言，外力Fie、内力F,、惯性力Fh (i 1,2, ,n)在形式上构成空间平衡力系，由静力学平衡理论知，空间任意力系平衡的必要与充分条件是力系 的主矢量和对任一点的
7、主矩等于均为零。即nnnFe+ Fi+ Fh = 013-6IIi 1i 1i 1nMo(F“)=Oi 1nnM o(F；)+ M o(F；) +i 1ii 1inn由于内力是成对出现的，内力的主矢量F：0，内力的主矩 Mo(F：)0。i 1 ii 1i那么式 13-6为Fie+FIi =0i 1 i i 1 nnM o(Fie)+M o(FIi)=0i 1 i 113-7即质点系的达朗贝尔原理 ：作用在质点系上的所有外力与虚加在质点上的惯性力在形式上 构成平衡力系。式 13-7在直角坐标轴上的投影形式：1空间力系nnFe+ix i1 nF Ixi i1 n=0=01i1nnMx(Fie)+M
8、x(FIi)=01i1nnMy(Fie)+My(FIi)=01i1Fzei+0i1 nF IyiFIzieFiye+ i1 nnn13-8M z( Fie )+ i1M z(FIi )= 0 i113-92平面力系nnFe ix 1+F Ixii1nnFiyeiy+F Iyi1i1nMo(Fie)+1=0=0nM o(FIi )= 013.2 刚体惯性力系的简化在应用动静法解决非自由质点系的动力学问题时，需要在每个质点上虚加惯性力，当 质点较多，特别是刚体，非常不方便。因此需要对虚加惯性力系进展简化，以便求解。下 面对刚体作平移、绕定轴转动和刚体平面运动时惯性力系的简化。13.2.1 平移刚体
9、惯性力系的简化当刚体作平移时，由于同一瞬时刚体上各点的加速度相等，那么各点的加速度都用质心 C 的加速度表示，即 a c = a i ，如图 13-5 所示。将惯性力加在每个质点上，组成平行的 惯性力系，且均与质心 C 的加速度方向相反，惯性力系向任一点O 简化，得惯性力系主矢再将平面力系向转轴与对称平面的交点O简化。轴心0为简化中心，如图13-6所示，惯F IR = F Iii 1m i a i =( m i a c)i 1i 1n=(i 1mi )ac = Mac13-10acai图 13-5惯性力系的主矩nM io =ri XF ii =i 1nX( mi 1i a i )n=(mi r
10、i) ac =i 1Mrcac13-11式中rc为质心C到简化中心0点的矢径。假设取质心C为简化中心rc =0,那么惯性力系的主矩为M Io = 0 13-12当简化中心不在质心 C处，其主矩M Io丸。结论：刚体作平移时，惯性力系简化为通过质心的一个合力，其大小等于刚体的质量 和加速度的乘积，方向与加速度方向相反。13.2.2定轴转动刚体的惯性力系简化这里只限于刚体具有质量对称平面且转轴垂直与此对称平面的特殊情形。当刚体作定轴转动时，先将刚体上的惯性力简化在质量对称平面上，构成平面力系,性力系的主矢量为nnd z n、F IR =F =i=mi ai =(mi vji 1i 1dt i 1d
11、(M vc) = - M a c dt c13-13惯性力系的主矩为nnn13-142MIo=M o( FIi )( mi ar ?ri ) = a m ir = J o ai 1i 1i 1其中，Jo为刚体对垂直于质量对称平面转轴的转动惯量。3ac *a 3aFM 1 oacaicn -MiX-FT nF IRr FlFi i图 13-7图 13-6结论：具有质量对称平面且转轴垂直于此对称平面的定轴转动刚体的惯性力系，向转 轴简化为一个力和一个力偶。此力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质 心加速度方向相反，作用线通过转轴；此力偶矩的大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加 速度的乘积
12、，转向与角加速度转向相反。当转轴通过质心时， 质心的加速度ac = 0 , fiR =0，那么惯性力系简化为质心上的一 个力矩。即M io = Jo a 13-1513.2.3平面运动刚体惯性力系的简化设刚体具有质量对称平面，且刚体上的各点在与对称平面保持平行的平面内运动。此 时刚体上的惯性力简化在此对称平面内的平面力系。由平面运动的特点，取质心C为基点，如图13-7所示，质心的加速度为 ac，绕质心C转动的角速度为3,角加速度为a,惯性 力系的主矢量为FiR =- Ma。 13-16惯性力系的主矩M ic = J c a 13-17其中，J c为过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量。结论
13、：具有质量对称平面的刚体，在平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在 此平面内的一个力和一个力偶。此力大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质 心加速度方向相反，作用线通过质心；此力偶矩的大小等于刚体对通过质心且垂直于质量 对称平面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度转向相反。例题13-2均质圆柱体 A的质量为m，在外缘上绕有一细绳，绳的一端B固定不动，如图13-8a所示，圆柱体无初速度地自由下降，试求圆柱体质心的加速度和绳的拉力。a(a)(b)图 13-8解：对圆柱体A进展受力分析，作用其上的力有：圆柱体的重力 mg，绳的拉力Ft , 作用在圆柱质心的虚拟惯性力 FI和M IA ,Fima aM IAJamR a1 2 a mR a2其方向如图13-8b所示。 列平衡方程为nM c 0i 1n
