摘 要伴随漫长的解方程历史探索中，数学家得出一元多次方程解与次数关系的代数学基本定理，一直以来，学者们给出了不同的方法来证明这个定理代数学基本定理在代数学中占有非常重要的地位，这篇论文将叙述代数学基本定理的内容，并用复变函数理论中的刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、最小模原理、留数定理、柯西定理来证明代数学基本定理，并对这些证明方法进行说明、比较与总结关键词：代数学基本定理； 辐角原理； 最大模原理； 最小模原理 AbstractWith a long history of exploration in the solution of equations, mathematicians come to a dollar many times the relationship between the number of equations and the fundamental theorem of algebra, has been, have given different ways to prove the theorem. Fundamental theorem of algebra in the algebra plays a very important position, this paper will describe the contents of the fundamental theorem of algebra and complex function theory with the Liouville theorem, Confucianism break theorem, argument principle, maximum modulus principle, the minimum Modulus principle, residue theorem, Cauchy's Theorem to prove the fundamental theorem of algebra, and the proof are described, compared and summarized.朗读显示对应的拉丁字符的拼音 字典Keywords：Fundamental theorem of algebra; Argument principle; maximum modulus principle; minimum modulus principle显示对应的拉丁字符的拼音 字典目 录前言 11代数学基本定理的第一种陈述方式的证明 11．1利用刘维尔定理证明 11.1.1刘维尔定理 11.1.2 证明过程 11.2利用最大模定理证明 21.2.1最大模原理 21.2.2 证明过程 21.3利用最小模定理证明 31.3.1最小模原理 31.3.2 证明过程 31.4利用柯西定理证明 41.4.1柯西定理 41.4.2 证明过程 42代数学基本定理的第二种陈述方式的证明 52.1利用儒歇定理证明 52.1.1儒歇定理 52.1.2 证明过程 62.2利用辐角原理证明 62.2.1辐角原理 62.2.2 证明过程 62.3利用留数定理证明 72.3.1留数定理 72.3.2 证明过程 8参考文献 9致谢 9浅谈用复变函数理论证明代数学基本定理前言代数学基本定理在代数学中占有十分重要的地位。
代数学基本定理的第一种陈述方式为：“任何一个一元次多项式在复数域内至少有一根”，它的第二种陈述方式为：“任何一个一元次多项式在复数域内有个根，重根按重数计算”，这两种陈述方式实际上是等价的此定理若用代数的方法证明，有些将是极其复杂的但是，如果我们将复数域理解为复平面，将的根理解为它在复平面上的零点，那么我们就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理这种证明方法比较简洁，方法也有多种，本文提出几种证明方法，其中个别方法在常见的复变函数的教材中已有涉及，如用刘维尔定理和儒歇定理证明代数学基本定理，但仍是有一些方法在复变函数教材中并未涉及本论文将对利用复变函数中的相关定理证明代数学基本定理作进一步的探讨1代数学基本定理的第一种陈述方式的证明1.1利用刘维尔定理证明1.1.1刘维尔定理刘维尔定理：有界整函数必为常数证明：是有界整函数，即，使得，,,在上解析令，可见，，从而在上恒等于常数1.1.2 证明过程假设在平面上无零点令为整函数且当时，对而言，是整函数又在上有界由刘维尔定理：为常数，与不是常数矛盾一元次方程在内至少有一个根刘维尔定理应用非常广泛用刘维尔定理做证明题时常见的方法有两种：一种是利用反证法来证明，另一种是构造辅助函数来证明。
而在刘维尔定理证明代数学基本定理的过程中巧妙地把这两种方法结合了起来它的证明思路很清晰：利用反证法，并构造辅助函数，由为整函数且在上有界，得到为常数，这与假设相比得出矛盾，从而得出结论一元次方程在内至少有一个根它的证明过程也很简洁，很容易让初学者理解和掌握1.2利用最大模定理证明1.2.1最大模原理最大模原理：设函数在区域内解析，且恒不为常数，则在区域内任意点都取不到最大值证明：假定在内不恒等于一常数，那么是一区域设在达到极大值显然，,而且必有一充分小的邻域包含在内于是在这邻域内可找到一点满足从而在内有一点满足以及，这与所设矛盾因此在内恒等于一常数1.2.2 证明过程假设在平面上没有零点，即则在平面上解析显然当且充分大时有因此，在上且充分大时，有由最大模原理，有特别地，在处，有而这对于充分大的显然不成立这就说明了“在平面上没有零点”的假设是不成立的从而可以得到在平面至少有一个零点即一元次方程在内至少有一个根1.3利用最小模定理证明1.3.1最小模原理最小模原理：若区域内不恒为常数的解析函数，在内的点有，则不可能是在内的最小值1.3.2 证明过程设假设平面，有，并且又因为在平面上解析，且不为常数所以由最小模原理知：只能在上取得 （#）另一方面，，从而当充分大时，在上有，则这与（#）式矛盾，所以假设不成立即在复平面上至少存在一个零点亦即一元次方程在内至少有一个根。
最小模原理与最大模原理在证明代数学基本定理的时候的证明方法是极其相似的：首先都是假设一元次方程在内无零点，然后通过在区域内某一点能取到最大值或最小值，但是却不是常数，与定理的内容产生矛盾，从而得出一元次方程在内至少有一个根这两个定理证明的关键之处是找到在区域内能达到最大值或最小值的某一点，如果找到了这一点，那么我们所要解决的问题就会迎刃而解了1.4利用柯西定理证明1.4.1柯西定理柯西定理：设函数在整个平面上的单连通区域内解析，为内任何一条简单闭合曲线，那么1.4.2 证明过程设，其中，假设在平面上无零点，即对任意，有于是在平面解析，由柯西定理（其中是圆周） （1）另一方面，= 其中函数满足当时，一致趋于零又因为所以 ，当 （2）故比较与得，这与定理的条件矛盾所以在平面上至少有一个零点即一元次方程在内至少有一个根以上四种证明方法均采用反证法，假设一元次方程在内无零点，通过证明，得到的结论都是代数学基本定理的第一种陈述方式：“一元次方程在内至少有一个根” 2代数学基本定理的第二种陈述方式的证明2.1利用儒歇定理证明 2.1.1儒歇定理儒歇定理：设是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线。
设函数及在及所组成的闭区域上解析，并且在上，，那么在上，及的零点的个数相同证明：由于在上，，可见及在上都没有零点如果及分别是及在内的零点的个数，那么有， 下面证明,为此只需证明当时，，从而点，总在平面上的圆盘内，当在上连续变动一周时，从起始值连续变动仍然回到它的起始值（不围绕）,亦即，于是得证，从而定理得证2.1.2 证明过程设令，当在充分大的圆周上时（不妨取） 由儒歇定理：与在内部有相同个数的零点，即个零点原方程在内有且仅有个根这个证明的突破点在于取， 之后就能顺利地得到，然后由儒歇定理就能得到结论：原方程在内有且仅有个根2.2利用辐角原理证明2.2.1辐角原理辐角原理：设在闭围线上解析，在其内部除了个极点外解析，在上不为零，而在的内部有个零点，而一个级极点算作个极点它们在的内部均解析，且连续到在上，则函数与在的内部有同样多(级算作个)的零点2.2.2 证明过程设（）显然，有唯一奇点，它是的级极点，即，所以，作一个充分大的圆，充分大，则的所有零点都在内，设的全部零点个数为，由辐角原理（其中）下面需证：显然，由上式有 (*)表示函数关于无穷远点的留数而其中以无穷远点为不低于级的零点。
从上式可知关于无穷远点的留数为，因此，由（*）可知，，即证2.3利用留数定理证明2.3.1留数定理留数定理：设是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线设函数在内除去有孤立奇点，，…，外，在每一点都解析，并且它在上每一点也解析那么我们有，这里沿的积分是按照关于区域的正向取的证明：以内每一个孤立奇点为心，作圆，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点从中除去以这些为边界的闭圆盘得一区域，其边界是以及在及其边界所组成的闭区域上，解析因此根据柯西定理， ，这里沿的积分是按照关于区域的正向取的，沿的积分是按反时针方向取的根据留数的定义，由此可立即推出2.3.2 证明过程设由知，存在正数，当时，有这就是说的根只可能在圆盘之内，又因为在内解析由留数定理得：，，表示在内部的零点个数另一方面，根据在无穷远点的留数定义，有=而当时，为的可去奇点于是有，其中的最高次幂为所以，，因此有故在复平面上有且仅有个根这三种证明方法都是采用直接证明的方法，得出代数学基本定理的第二种陈述方式：“一元次方程在内有且仅有个根”这些证明方法各有长处，在具体应用的时候可以做出适当的选择，快速有效地解决问题。
参考文献[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,1998[2]余家荣.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2007[3]杨露.代数学基本定理的推广[J].烟台师范学院学报(自然科学版),2000,16(2):150-152[4]宫兆刚.复变函数理论证明代数学基本定理的几种方法[J].衡阳师范学院学报,2007年6月第28卷第3期[5]张庆.利用复变函数的理论证明代数学基本定理[J].河北职工大学学报,1999年5月首卷第1期[6]刘洪旭.代数学基本定理的引申及证明[J].辽宁师专学报,2006年12月第8卷第4期[7]刘喜兰.代数学基本定理的几种非代数证明[J].雁北师院学报,1996年12月第12卷第6期致谢。