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1、KdV方程的近似行波解数学与应用数学专业 学生：王芳 指导教师：高正晖摘 要：本文利用傅里叶级数法,吴消元法获得了KdV方程的多组近似行波解.关键词：KdV方程;傅里叶级数法;吴消元法;近似行波解1 引言随着应用科学的发展,使得描述实际现象的非线性偏微分方程越来越突现其重要性.最早用于描述浅水波现象的KdV方程 .在经过长时间沉寂后,随着孤波理论的发展,方程本身和解的意义被人们重新认识,吸引了科学家的研究兴趣.人们发现各种不同形式的KdV方程可以描述很多领域中的不同现象.如:弱非线性,弱色散的平面波系统运动,等离子体中的磁流体波.而方程的近似解能使物理现象得到进一步的解释.因此,对数学家、物理
2、学家、工程学家及应用科学工作者来说,寻找对应实用背景方程的近似解一直是大家关注的问题.由于非线性方程问题的复杂性和特殊性,非线性方程没有统一的求解办法,因而出现求解非线性方程的各种方法,如直接积分法,混合指数法,齐次平衡法,双曲函数展开法及Baclund变换法等.所有这些方法都有一定的局限性.本文采用傅里叶级数法和吴文俊消元法,获得了非线性方程 KdV 的多组近似行波解.2 KdV方程的求解 方程可表示为： . （1） 现在用傅里叶级数法来求解上述方程，为了求解（1）式.令： （2） 将（2）式代入方程（1）可得常微分方程： . （3） 对（3）式积分一次，取积分常数，得： . （4） 由傅里
3、叶级数法,设方程（4）有如下形式的行波解 . （5） 2.1当时： . （6） 其中为待定系数. 将（6）式代入（4）式 即： （7） 令(7)式中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下方程组： 解得： 其中为任意常数. 于是方程（4）有如下形式的解： 2.2当时： （8） 其中为待定系数. 将（8）式代入（4）式即： （9） 令（9）中的常数项及各次项的系数为零，得到如下方程组： （10） 利用吴消元法解上述关于的方程组得： 其中为任意常数. 于是方程（4）有如下形式的解： 3 结束语本文以KdV方程为例,介绍了用傅里叶级数法和吴消元法求解近似行波解的方法,从而揭示了求解非线性发展方程精确行
4、波解理论与技巧.参考文献：1赵长海.KdV方程的显示行解J.海南师范大学学报（自然科学版），2010,23（3）:142-146.2高正晖，罗李平，杨柳.求非线性发展方程精确行波解的几种方法J.衡阳师范学院学报，2009,30（6）：13-17.3高正晖.(2+1)维CD方程的精确行波解J.科学技术与工程，2009,9（8）：2122-2125.4刘洪林，刘洪元.吴消元法的初等代数形式J.沈阳师范大学学报（自然科学版），2005,23（3）：248-251.5刘洪元.吴消元法与四元术J.辽宁大学学报（自然科学版）,2004,1(4)：338-341. 6张克磊.几类非线性波动方程行波解分支的研
5、究D.桂林：桂林科技大学数学研究所，2010.7殷俊.三类广义KdV 方程的行波解D.成都：四川师范大学，2008.8傅海明.一类五阶KdV方程行波解J.鸡西大学学报，2008,8（6）：142-143.9叶健芬，蔡桂平，虞凤英.利用双曲函数法研究非线性方程的行波解J.温州师范学院学报(自然科学版) ，2006,27(2)：1-4.10李俊焕，郑一.两种方法求KdV方程的新解J.青岛理工大学学报，2011,32（5）：123-126.Approximate Traveling Wave Solutions of KdV EquationMathematics and Applied Mathematics Author：Wang Fang Tutor: Gao ZhenghuiAbstract: In this paper, KdV equation groups of traveling wave solutions are obtained by using Fourier series method and Wu elimination method.Key words: KdV equation; Fourier series method ; Wu elimination method ; Approximate traveling wave solutions
