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1、美两中学生找到“任意等分线段”新方法1995年夏季学期，两个初中二年级学生David Goldenheim和Dan Litchfiled在完成几何任务时采用了一种新颖、简便的方法。数学老师Charlie Dietrich给这两名学生布置了一个任务：把一条给定的线段分成任意等份，也就是数学上的“等分问题”。这是一个所有学习几何的学生都要解决的问题。结果David和Dan做了一个程序来解决这个问题。当Dietrich看到他们的答案时，他立刻意识到他们的构造方法非常巧妙，并且极具创造性。对于这个问题，老师们通常都会采用欧几里得在2500年前所用的方法来解决。Dietrich相信Daivd和Dan的新
2、方法（他们已经把它命名为“GLaD构造”）是“自古以来第二种构造等分的方法”。不仅如此，两个孩子在解决这个问题中提出的一个问题还导致了构造Fibonacci序列方法的发现。Dietrich也认为这是一项独创的方法。在数学中，Fibonacci序列是指一组具有如下特征的数：除了最前面的两个数外，以后每个数都是它的前面两个数的和，如：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34。这个序列数是以中世纪著名的数学家Fibonacci命名的。Daivd、Dan和Dietrich把他们的两个发现写成一论文，投稿到数学教师杂志上。数学教师是由美国数学教师协会主办的月刊，是世界范围内中学数学的重要杂志。他们的
3、论文已被选入1997年1月的杂志中。由于他们的方法是在几何画板的帮助下完成的，因而1996年4月，几何画板的制作者和出版者，Key Curriculum出版社的总裁steven Rasmuessen邀请Dietrich与他一起在NCTM第74次年会上的发言。演讲的主题是有关于他的学生的发现，题目是“用几何画板从归纳到推理”。两个月后，Dan、David和他们的老师Dietrich应邀到“技术与数学”第12届年会上发言。这是该会议中第一次邀请学生进行进行演讲。8月，他们又在NETD会议上做了一次演讲。而且，这三位数学家还将在1997年4月在NCTM第75次年会上展示他们的发现。能够应邀在该会议上
4、进行发言可能是全世界范围内中学数学教师所能获得的最大荣誉了。Dietrich说：“我们都知道，该会议是第一次邀请学生上台演讲。”此外，他们已经在四个地方性的NCTM协会中进行了演讲。“50%的数学知识是1940年以后出现的，而在这其中99.9%是由博士级的人物发现的。Dan和David的发现是非常值得注意的，因为这些发现可以运用中学数学知识通过三种方法证明：代数、几何、推理”。后记：笔者看到科技日报上的一则简讯后，立刻到Internet上的美国数学教师协会（NCTM）中查找到发表在数学教师上的原文。原文的第一段将刊登在后面。他们在发现该方法后，立即在该学校中建立了一个主页（http:/www.
5、gfacademy.org/GLaD），本文即该主页中的主要内容。数学教师刊载的原文欧几里德、费波那奇和画板Dan litchfiled、Dave GoldenhiemCharles H. Dietrich指导1995年6月未，Greens Farms学校的夏季学期，我开始教David Goldenhem和Daniel Litchfiled几何和三角。我很早就听说了他们很擅长于学习数学，所以我就准备了一些挑战性的问题。但是，那时我丝毫没有想到这种方法所带来的巨大好处。7月中旬，我让他们解决下面的问题：把给定的一条线段任意等分。这个问题在大多数几何课本的构造方法中都有。这最早是由欧几里德提出的问
6、题“把给定的未切过的直线与切过的直线类似”。(to cut a given uncut straight line similarly to a given cut straight line.)不到两个小时，他们告诉我说他们解决了这个问题，但并没有用圆规和直尺，而是用几何画板在计算机上完成的。“这种方法行吗？”他们问道。我说“当然可以”。但当我看到他们的解法时，我大吃一惊。我三十三年教数学的直觉告诉我这种构造方法是非常独到的实际上，这是一个新的发现。可能这是自欧几里德提出解决这个问题的方法以来的第二种解决方法。我不仅思绪万千。然后，他们又给我看了另一个构造。这种构造结果对于每一个年青的数学家
7、就象他们两个一样来说都是非常熟悉的。这就是Fibonacci序列。是Fibonacci序列吗？我得证明一下。当我冷静下来后，我立刻和他们一起研究其中包含的严肃的数学问题。首先，我们分别用综合方法和解析的方法证明了第一个构造。最后，我们根据数学推理原则证明了这两种方法。对第二个构造的证明非常艰难，但在我们的通力合作下，我们当天就用解析的方法证明了出来。我将永远记住这两位九年级的学生。孩子们，继续努力吧！（题目的几何构造和证明方法略） 附 几何画板构造任意等分线段的方法 1. 作一条线段AB； 2. 以AB为底边作矩形ABCD，这里假设AC、BD为对角项点； 3. 连接AC与BD，取其交点E； 4. 过E点向AB作垂线，垂足为F，即为二等分点； 5. 连接AF，取其与BD的交点G； 6. 过G点向AB作垂线，垂足为H，即为三等分点； 7. 连接AH， 8.
