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1、()函数与导数主要知识及方法(文)-函数与导数的主要知识及方法一、主要知识 ：一照射与函数的看法；1、照射与函数的看法 : 1照射：设 A、B 是两个会集，若是依照某种照射法那么f ，关于会集 A中的任一个元素，在会集B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应包括会集A、B 以及 A到 B 的对应法那么 f 叫做会集 A 到会集 B 的照射，记作 f ： A B。2函数的定义：设 A、B 都是非空的数的会集，f ：x y 是从 A 到 B 的一个对应法那么，那么从A 到 B 的照射 f ： A B 就叫做函数，记作y=f(x)，其中 xA, yB ，原象会集A 叫做函数的定义域，象会集 C
2、叫做函数的值域。CB(3) 象与原象：若是给定一个从会集A 到会集 B 的照射，那么会集A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。2、照射与函数的差异 : 函数看法中涉及的两个会集必定是非空实数集, 而照射看法中所涉及的两个会集只要不是空集就行了.3、与照射有关的问题： 1掌握由照射与函数的看法判断一个对应可否为照射或函数： 2会求象和原象 3会求从会集 A 到会集 B 的照射的个数。4、函数的三要素 : 定义域对应法那么值域5 、函数的表示法： 解析法列表法图象法6、两个函数相同的条件： 1定义域相同， 2对应法那么可化相同7、求函数定义域一般有三类
3、问题：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值会集；其求解依照是：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零，a 0有意义的条件是a 0 ； 3对数函数的真数必定大于零； 4指数函数和对数函数的底数必定大于零且不等于1； 5分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集。 6 ya f ( x) 与 y3 f (x) 的定义域都与 f ( x) 的定义域相同假设函数是由一些根本函数经过四那么运算而获取的，那么它的定义域是由各根本函数定义域的交集。警示： 研究函数的问题必然要先求定义域，尔后再定义域内去研究所给问题。二函数的性质1、单调性：1、 (1)函数单调性的定义：设fx 的定义域为A,且
4、 DA , 若是函数 f x对区间 D 内的任意 x1 , x2 ，当 x1x2 时都有 fx1f x2 ，那么 fx 在 D 内是增函数；当x1 x2 时都有f x1f x2，那么 f x 在 D 内是减函数。 2设函数 yf ( x) 在某区间 D 内可导，假设 f (x)0 ，那么 yf (x) 为区间 D 内的增函数；假设 f ( x)0，那么 yf ( x) 为区间 D 内的减函数 .2、单调性的定义的等价形式：设 x1 , x2fx1fx20fx 在a, b 是增函数；a,b ，那么x1x2fx1fx20fx 在a,b 是减函数；x1x2(x1x2 ) f (x1 )f ( x2
5、)0f (x) 在 a,b( x1x2 ) f ( x1 )f ( x2 )0f ( x) 在 a, b是减函数。是减函数。3、求单调区间的方法：方法一： 1求定义域， 2在定义域内作图解析或在定义域内依照已知函数的单调性以及以下规律进行解析，这些规律是： 1假设 f(x),g(x) 在 A 内均为增函数或减函数，那么f(x)+g(x) 在 A 内仍为增函数或减函数； 2假设f(x) 为增函数，那么-f(x) 为减函数；yf (x), 的 单 调 性 与 f ( x) 的 单 调 性 相 同 ， y1f (x) 的 单 调 性 相的单调性与f ( x)反; ya f ( x) 与 y log
6、a f (x) 的单调性：当 a 1 时都与 f ( x) 的单调性相同，当0a 1 时都与 f (x) 的单调性相反。方法二： 1求定义域， 2求 f (x) ； 3解不等式f (x) 0 ，那么不等式f (x)0 的解集-与 f (x) 的定义域的交集为函数的增区间，增区间在定义域中的补集为函数的减区间。4、函数单调性的证明： 1求 f (x) ； 2在题目所给区间内判断f (x) 的符号， 假设 f ( x)0 ，那么 f (x) 在所给区间内为增函数，假设f (x)0 ，那么 f (x) 在所给区间内为减函数。5、单调性的应用1比较大小：由自变量的大小及单调性可得函数值大小，其方法是：
7、比较自变量的大小，判断函数的单调性，由单调性定义得出函数值大小。由函数值的大小及单调性可推出自变量的大小即假设yf ( x) 在区间 a, b 上是增函数，且x1x2f ( x1 )f ( x2 ) ，那么 ax1bax2b如： f (x) 是定义在 (0,) 上的递减区间，且f ( x) f ( 2x3) ，那么 x 的取值范围 _6、与单调性有关的结论： 1 f ( x) 在区间a,b上是增函数f( x) 0 在 a, b上恒成立且 a,b是 f ( x) 的定义域的子集； 2 f (x) 在区间a, b 上为减函数f ( x) 0 在 a,b 上恒成立且a, b 是 f ( x) 的定义
8、域的子集 . 3假设 f ( x) 在区间 a,b 上单调，那么包括上述两类。4假设 f ( x) 在区间 a, b 上不仅一，该问题是3的对峙问题，即该问题的补集是3。5假设 f ( x) 在区间 a, b 上存在增区间，那么先解决f ( x) 在区间 a,b 上是减函数， 再求补集。7、假设 f ( x) 在区间 a, b上是增函数，那么区间a, b既是 f (x) 的定义域的子集，又是f (x) 的增区间的子集；假设f ( x) 在区间 a, b 上是减函数，那么区间a, b既是 f ( x) 的定义域的子集，又是 f (x) 的减区间的子集。2、奇偶性与对称性：1、函数的奇偶性的定义：
9、设yf (x) ， xA，若是关于任意xA ，都有 f ( x)f ( x) ，那么称函数 yf ( x) 为奇函数； 若是关于任意x A ，都有 f (x)f (x) ，那么称函数 yf ( x)为偶函数；2、奇偶函数的性质：1函数拥有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；2 f ( x) 是偶函数f ( x) 的图象关于 y 轴对称；f ( x) 是奇函数f (x) 的图象关于原点对称；（ 3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内拥有相反的单调性.3、 f ( x) 为偶函数f ( x)f ( x)f (| x |) 4、假设奇函数f ( x) 的定义域包括0
10、，那么 f (0)0 5、判断函数的奇偶性的方法：(1) 定义法： 第一判断其定义域可否关于原点中心对称.假设不对称， 那么为非奇非偶函数；假设对称，那么再判断f (x)f ( x) 或 f ( x)f (x) 可否认义域上的恒等式；(2) 图象法；f ( x) 是偶函数f ( x) 的图象关于y 轴对称； f ( x) 是奇函数f ( x) 的图象关于原点对称；(3) 性质法： 设 f ( x) ， g ( x) 的定义域分别是 D1, D2 ，那么在它们的公共定义域 D D1 D 2 上：奇 奇 奇，偶 偶 偶，奇 奇 偶，偶 偶 偶，奇 偶 奇；假设某奇函数假设存在反函数，那么其反函数必
11、是奇函数；6、 判断函数的奇偶性有时能够用定义的等价形式：f (x) f ( x)0， f ( x)1f ( x)3、 周期性：T ，使得 f ( x周期函数的定义： 关于 f ( x) 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ) f ( x)恒成立， 那么称函数 f ( x) 拥有周期性， T 叫做 f(x) 的一个周期， kT kZ, k 0也是 f (x)-的周期，所有周期中的最小正数叫f ( x) 的最小正周期 .思虑 :1、假设 f (x 2)f ( x)，那么 f ( x) 的周期是；2、假设 f (x 1)1，那么 f (x) 的f ( x)周期是；3、 假设 f ( x 1)1，那么 f ( x) 的周期是； 4、假设 f ( x) 是偶函数，且图象关于 x 2f (x)x 2 对称，那么对称，那么f ( x) 的周期是； 5、假设 f ( x) 是奇函数，且图象关于f ( x) 的周期是三反函数1、反函数存在的条件：从定义域到
