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1、高三文科数学元旦练习一1在锐角中，角，所对的边分别为，已知.（1）求；（2）当，且时，求.解：（1）由已知可得.所以. 2分因为在中，所以. 4分（2）因为，所以. 6分因为是锐角三角形，所以，. 8分所以. 11分由正弦定理可得：，所以. 14分说明:用余弦定理也同样给分.2（本题满分14分）如图, 是边长为的正方形，平面，.ABCDFE(1)求证：平面；（2）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.解.(1)证明：因为平面，所以. 2分因为是正方形，所以，因为4分从而平面. 6分（2）当M是BD的一个三等分点，即3BMBD时，AM平面BEF 7分取BE上的三等分点N
2、，使3BNBE，连结MN，NF，则DEMN，且DE3MN，因为AFDE，且DE3AF，所以AFMN，且AFMN，故四边形AMNF是平行四边形 10分所以AMFN，因为AM平面BEF，FN平面BEF， 12分所以AM平面BEF 14分3.如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M（1）若AM=MN，求AMB的余弦值；（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程解：（1）由已知，直线设N（8，t）（t0），因为AM=MN，所以M（4，）由M在椭圆上，得t=6故
3、所求的点M的坐标为M（4，3）4分所以，7分（用余弦定理也可求得）（2）设圆的方程为，将A，F，N三点坐标代入，得 圆方程为，令，得11分设，则由线段PQ的中点坐标为（0，9），得，此时所求圆的方程为15分 （本题用韦达定理也可解）（2）（法二）由圆过点A、F得圆心横坐标为1，由圆与y轴交点的纵坐标为（0，9），得圆心的纵坐标为9，故圆心坐标为（1，9） 11分易求得圆的半径为，13分所以，所求圆的方程为 15分高三文科数学元旦练习二1.已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.（1）求圆C的方程；（2）若直线FG与直线交于点T，且
4、G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（3）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.解（1）由椭圆E：，得：，又圆C过原点，所以圆C的方程为4分（2）由题意，得，代入，得，所以的斜率为，的方程为， 8分（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为故直线被圆C截得弦长为710分（3）设，则由，得，整理得，12分又在圆C：上，所以，代入得， 14分又由为圆C 上任意一点可知，解得所以在平面上存在一点P，其坐标为 16分2.某隧道长2150m，通过隧道的车速不能超过m/s。一列有55辆车身长都为10m的同一车型的车队（
5、这种型号的车能行驶的最高速为40m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当时，相邻两车之间保持20m的距离；当时，相邻两车之间保持m的距离。自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为。（1）将表示为的函数。（2）求车队通过隧道时间的最小值及此时车队的速度。解：当时， 当时， 所以，（1） 当时，在时， 当时， 当且仅当，即：时取等号。因为 ，所以 当时，因为 所以，当车队的速度为时，车队通过隧道时间有最小值高三文科数学元旦练习三1.已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l： 求椭圆的标准方程； 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是
6、直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值解：椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：，不妨设椭圆C的方程为（2分），（ 4分）即（5分）椭圆C的方程为（6分） F（1，0），右准线为l：， 设， 则直线FN的斜率为，直线ON的斜率为，（8分） FNOM，直线OM的斜率为，（9分） 直线OM的方程为：，点M的坐标为（11分） 直线MN的斜率为（12分） MNON， ， ，即（13分）为定值（14分）2.已知某种稀有矿石的价值（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比，且克该种矿石的价值为元。写出（单位：元）关于（单位：克）的函数关系式；若把一块该
7、种矿石切割成重量比为的两块矿石，求价值损失的百分率；把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。（注：价值损失的百分率；在切割过程中的重量损耗忽略不计）解依题意设，又当时，故。 设这块矿石的重量为克，由可知，按重量比为切割后的价值为，价值损失为，价值损失的百分率为。解法1：若把一块该种矿石按重量比为切割成两块，价值损失的百分率应为，又，当且仅当时取等号，即重量比为时，价值损失的百分率达到最大。解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为，则价值损失的百分率为，又，故，等号当且仅当时成立。 答：函数关系式； 价值损失的百分率为；故当重量比为时，价值损失的百分率达到最大。3.设数列的前n项和为，且满足2，n1，2，3，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足1，且，求数列的通项公式；（3）设n (3)，求数列的前n项和为（1）因为n1时，2，所以1因为2，即2，所以2两式相减：0，即0，故有因为0，所以( n)所以数列是首项1，公比为的等比数列，( n)（2）因为( n1，2，3，)，所以从而有1，( n2，3，)将这n1个等式相加，得12又因为1，所以3( n1，2，3，)（3）因为n (3)，所以 ，得 故88( n1，2，3，)
