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1、正余弦定理和解斜三角形【基础梳理引导】1.正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=.3.SABC=absinC=bcsinA=acsinB,S= =Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin, sin=cos在ABC中，熟记并会
2、证明tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60；(3)ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.一、【题型研究】填空题1在中，已知，则_2或12已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为，则它的顶角的正切值是_3在中，则_4在中，则 5在中，若，则_6在中，已知，若此三角形有两解，则的取值范围是_7在中，则三角形的形状为_等边三角形8在中，若，试判断三角形的形状_等腰三角形由，得，化简得，即是等腰三角形。9在中，则的取值范围是_10在中，若，则等于_ ，二、【题型研究】选择题11的三内角所对边的长分别为.设
3、向量，若，则角的大小为 （ ）B 12. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则B A B C D13. 的三内角、成等差数列,的平分线交边于点,若,则（ ）A.1 B. C. D.213在中，若则此三角形是 （ B ） A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形14在中，若，那么其三边关系式为 （ B ）A. B. C. D. 15在中，为三角形三条边，且方程有两个相等的实数根，则该三角形是 （ A ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 16.已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则是 （ A ）A.等
4、腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 三、【题型研究】解答题17在中，若。（1）求；（2）若，求的值。解：（1）由题设得，即，解得，故；（2），即，将代入，得，解得或。18.【题型研究】【2010年陕西】叙述并证明余弦定理。解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有，.证法一 如图， 即 同理可证 ， 证法二 已知中所对边分别为，以为原点， 所在直线为轴建立直角坐标系，则，19.【题型研究】【2010年陕西】在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,A
5、C=14,DC=6，求AB的长.解在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120, ADB=60在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得, AB=.20. 【题型研究】在中，已知 （）求角； （）若，的面积是，求（）解：由，得3分所以原式化为因为，所以 ， 所以 因为， 所以 7分 （）解：由余弦定理，得 因为 ， 所以 11分因为 ， 所以 . 13分21.【题型研究】已知ABC的周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA （I）求边长a的值。 （）若SABC=3 sinA，求cosA的值解（）根据正弦定理，可化为 3分 联立
6、方程组，解得 6分 （）， 9分 又由（1）可知， 由余弦定理得 12分22【题型研究】解：（）A+B+C=180， 由 ， ， C=60 （）由，得 ， 23.如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求的值解：（1）依题意，2分在中，由余弦定理，得 4分 解得6分所以渔船甲的速度为海里/小时答：渔船甲的速度为海里/小时7分（2）方法1：在中，因为， ，由正弦定理，得9分即方法2：在中，因为，由余弦定理，得9分即因为为锐角，所以答：的值为24.如图，为了计算某湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上设立A和D两个测量点，现测得，AD=10km,AB=14km, , ，求两景点B与C之间的距离（假设A、B、C、D在同一平面内，测量结果精确到0.1km,参考数据： ）解：在中，设BD=x，则即，整理得，解之，得（舍去） (6分)由正弦定理，得，所以（km）(12分)25.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高（用题中所给字母表示）解：在中，由正弦定理得所以在中，
