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1、章节第七章日期重点难点第七章 多元函数积分学一二重积分的计算，交换积分次序与累次积分的转换1利用直角坐标系计算二重积分若D为X型区域：则：若D为Y型区域：则：若积分域较复杂，可将其分为若干个X型或Y型区域，则：例（02研）：计算二重积分，其中。解：积分域为正方形，而被积函数需分块表示：用直线将积分域分为两块，则：原式 （利用二积分的对称性）2利用极坐标系计算二重积分二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式：章节（续）日期重点难点设 ，则：特别地，对 ，有：若则可求得D的面积：若是普通闭区域，面积为：若是扇形区域，面积为：例（05研）设表示不超过的最大整数，计算。解：在D上：将D分为两块：
2、换成极坐标有原式章节（续）日期重点难点3交换积分次序与累次积分的转换方法：根据已知积分限确定积分域，再根据其图形确定变换后的积分域。例1（06研）设为连续函数，则 （ C ）A BC D解：根据已知积分域有，是半径为1圆心在原点的圆位于第一象限部分的一半，圆方程为，若化成直角坐标系下的二次积分，当选择X型域时，需将积分域化为两部分，而所给四个选项均只有一项，故应使用Y型域，有 原积分，选C。例2设函数在0，1上连续且，求。解：积分域如图，交换积分次序有：由于定积分与积分变量无关，可将后式写为：，将此式加上所求有：即：章节（续）日期重点难点二三重积分的计算1利用直角坐标系计算三重积分微元线密度方
3、法1：投影法（“先一后二”），细长柱体微元的质量为：该物体的质量为：记作：方法2：截面法（“先二后一”），面密度以为底，为高的柱形薄片质量为：该物体的质量为：记作：方法3：三次积分法，设区域利用投影法结果，把二重积分化为二次积分即得：记忆方法：先从面到面，再从线到线，最后从点到点。章节（续）日期重点难点2利用柱面坐标系计算三重积分柱面坐标系中的体积元素为：，则：其中：例（91研）：求，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面围成的立体。解：旋转曲面方程为：，使用柱面坐标，有：原式3利用球面坐标系计算三重积分球面坐标系中体积元素为：因此， 其中：章节（续）日期重点难点4利用区域的对称性与被积函数
4、的奇偶性化简多元函数的积分例：计算，其中是由曲面所围成的区域。解：积分域是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点，对称轴为轴，半顶角为的锥面所围成，选择球面坐标系，由于积分域关于面对称，被积函数的第一项是关于的奇函数，故：原式在点三曲线积分与格林公式，两类曲线积分之间的联系1对弧长的曲线积分参数方程：直角坐标系：极坐标系：特别要注意弧微分公式，应用很广泛。2对坐标的曲线积分3两类曲线积分之间的联系章节（续）日期重点难点4格林公式，积分与路径无关的条件格林公式：（一般取逆时针方向为正向）正向闭曲线L所围区域D的面积：平面上曲线积分与路径无关的等价条件：定理：设D是单连通域，函数在D内具有一阶
5、连续偏导数，则以下四个条件等价：（1） 沿D中任意光滑闭曲线L，有：；（2） 对D中任一分段光滑曲线L，曲线积分： 与路径无关，只与起点和终点有关；（3） 在D内是某一函数的全微分，即：；（4）在D内每一点都有：。例1（91研）在过点和的曲线族中求一条曲线，使沿该曲线从O到A的积分的值最小。解：记曲线，则：章节（续）日期重点难点再求的最小值点：在上的最小值点是，则所求曲线为例2（99研）求，其中为正的常数，L为从点沿曲线到点的弧。解：添加辅助线使积分曲线成为闭合曲线，则有：例3（03研）已知平面区域，L为D的正向边界，试证：（1）；（2）证：（1）由格林公式有：左边右边章节（续）日期重点难点由
6、于区域D关于对称，可将互换，则有：，即：（2）由（1）的结论并根据有： 四曲面积分与高斯公式，两类曲面积分之间的联系1方向导数章节（续）日期重点难点五斯托克斯公式，向量场的散度和旋度1多元函数的极值问题章节（续）日期重点难点六多元函数积分学的应用章节（续）日期重点难点章节第七章 习题及解答日期重点难点第七章 习题及解答1（94研）设D为圆域，则_。解：注意到：原式2（01研）交换二次积分的积分次序：_。解：观察所给二次积分，由于时，故此二次积分不是由二重积分得来的，而将后式上下限互换后的二次积分才是二重积分的一个累次积分，它与原式相差一个符号，先将其表示为：其积分域为交换积分次序并考虑到与所求相差一个符号，有：原式3（07研）设曲线（具有一阶连续偏导数），过第象限内的点M和第象限内的点为L上从点的一段弧，则下列积分小于零的是 （ B ）A B C D解：记两点坐标为，将代入被积表达式得：A章节（续）日期重点难点BC的弧长D（ 对求全微分得：） 选B。4（99研）设是由方程所确定的章节（续）日期重点难点5（05研）设函数，单位向量，6（97研）设直线在平面上，且平面又与曲面85
