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1、 定积分的计算与应用见涛师学院附属中学，514063917qq. 摘 要： 定积分是微积分学中从实际问题中抽象出来的一个重要的根本概念，也是积分学的根本运算之一.本文主要讨论定积分的计算及其应用，对一些常用的方法和技巧进展了归纳和总结，并较为深入地探讨了定积分在几何，物理，经济等领域都有着非常广泛的应用.关键词： 定积分； 计算； 应用众所周知，微积分的两大局部是微分与积分微分实际上是求一函数的导数，而积分是一函数的导数，求这一函数.所以，微分与积分互为逆运算.实际上，积分还可以分为两局部.第一种是单纯的积分，也就是导数求原函数，而假设的导数是，那么(是常量)的导数也是，也就是说，把积分不一定
2、能得到，因为的导数也是，是无穷无尽的常数，所以积分的结果有无数个，是不确定的我们一律用代替，这就称为不定积分.而相对于不定积分，就是定积分.所谓定积分，就是以平面图形的面积问题引出的.为定义在上的函数，为求由所围图形的面积，采用古希腊人的穷举法，先在小围以直代曲，求出的近似值，再取极限得到所求面积，为此，先将分成等份：，取，记，那么为的近似值，当+时，的极限应可作为面积.把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念 定义：对于定义在上的函数，作分划， 假设存在一个与分划及的取法都无关的常数，使得 (1) 那么称为在上的定积分，记作，称为积分区间，称为被积函数，分别称为积分的下限和上限.当的
3、原函数存在时，定积分的计算可转化为求的不定积分.其实定积分也叫黎曼积分.我们还可以看到，定积分的本质是把图像无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系，那么，为什么定积分写成积分的形式呢？定积分和积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要理论的支撑，使得它们有了本质的密切联系.把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿莱布尼兹公式定理牛顿莱布尼兹公式设函数在闭区间上连续，且是它在该区间上的一个原函数，那么=也常写成 = (2)此公式用文字表述就是说一个定积分式的值.就等于上限在原
4、函数的值与下限在原函数的值的差，且这个差值是确定的，是一个数，而不是一个函数.正因为这个理论提醒了积分与定积分本质的联系，可见定积分在积分学以至更高等的数学上或其它领域的重要地位.因此，牛顿莱布尼兹公式也被称作微积分根本定理.一、定积分的计算方法一几种根本的定积分计算方法由牛顿莱布尼兹公式知，计算连续函数的定积分，关键是求的原函数，也就是求的不定积分，那么由不定积分的换元积分法和分部积分法，自然推出定积分的换元积分法和分部积分法. 用定义计算例1 计算定积分解 设,用分点把区间分割为个小区间,记,在上任取一点,有,作积分和 = =,那么 .因此 . 利用牛顿-莱布尼兹公式计算例2 求解 . 换
5、元法例3 计算解 =(凑微元法)例4 求解 设，从而，当时,; 当时，=.那么 =注意：用把原来的变量换成新变量时，积分限也要换为相应新变量的积分限.即对应的为下限，对应的为上限；公式中的谁大谁小不受限制. 分部积分法例5 求解 设，于是 .那么.注意：在利用分部积分公式计算定积分时，不必等到原函数求出以后才将上下限代入，可以算一步就代一步.二几种简化的定积分计算方法 关于原点对称区间上函数的定积分例6 计算解 由于为偶函数，为奇函数，所以 = =.2 .周期函数的定积分例7 设是周期为的周期函数，且连续，那么是任意常数 证明：由于 又 所以 3.递推公式例8 计算解 = =.4.恒等变形例9
6、 计算解 =,由于 ，所以 原式=.二、定积分的应用定积分的概念是从许多实际问题中抽象出来的，所以它的应用是多方面的几何上的应用包括求体积，弧长，面积；物理上的应用将包括计算力所做的功，静压力，引力等等；及其在经济上的一些应用.一定积分在几何中的应用 平面图形的面积 解这类问题一般应用微元法例10 计算椭圆所围成的平面图形的面积解 由于椭圆关于轴与轴对称，所以只需计算位于第一象限局部的面积,然后乘以4就得到所求平面图形的面积.由，现选择为积分变量也可选择为积分变量，难易程度相当它的变化区间为，于是 ，令,那么，当时，；.所以 =，特别地 当时，得圆的面积为.注：求解这类简单曲线时，首先应求出曲
7、线的交点；画出经过交点的曲线；选择适当的积分变量可使运算简便. 旋转体的体积例11 计算椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解 ,如果，就得到半径为的球的体积为.例12 求由抛物线，直线及轴所围成的平面图形分别绕轴，轴旋转所成的旋转体的体积 解 设绕，轴旋转的体积分别为，那么,参考文献：1 Robert Ellis Denny Gulick.微积分(上)M.:科学技术,1987年6月. 388.2 盛刚.微积分(上)M.:科学,2004年7月. 134.3 盛刚.微积分(上)M.:科学,2004年7月. 136.4 钱.数学分析题解精粹M.:崇文书局,2003年10月. 266.5 德矿.吴明华 微积分(上)M.:高等教育,海德堡:施普林格,2000年7月. 209.：见涛单位：师学院附属中学地址：师学院附属中学 ：236041手机号：13965580197 /
