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1、与圆的切线有关的计算与证明(1)类型之一 与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P =30,0 O的半径为1,贝U PB的长为 1.图 Z12- 1经典母题答图【解析】如答图，连结0C. PC 为 O O 的切线，/ PC0 = 90,在 RtA0CP 中0C= 1,Z P= 30,OP = 2OC = 2, PB = OP-0B = 2- 1 = 1.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直.【中考变形】2017天津已知AB是O 0的直径，AT
2、是O 0的切线，/ ABT= 50, BT交O0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D.(1) 如图Z12-2，求/ T和/CDB的大小；(2) 如图，当BE= BC时，求/ CD0的大小.A图 Z12-2解：如答图，连结AC, AT是。O的切线，AB是。O的直径， AT丄AB,即/ TAB= 90,vZ ABT= 50,AZ T= 90/ABT= 40由AB 是 O O的直径，得Z ACB = 90Z CAB= 90 Z ABC= 40,：Z CDB =Z CAB = 40;中考变形答图a中考变形答图如答图，连结AD ,在厶 BCE 中，BE= BC,Z EBC = 50 Z BC
3、E=Z BEC= 65,：Z BAD = Z BCD = 65 vOA= OD ,/ ODA =Z OAD= 65,vZ ADC=Z ABC= 50, Z CDO=Z ODA Z ADC = 65 50= 15 .【中考预测】2017宿迁如图Z12 3, AB与O O相切于点B, BC为O O的弦，OC丄OA, OA与BC相交于点P.求证：AP = AB;(2)若OB = 4, AB = 3,求线段BP的长.图Z12 3中考预测答图解：(1)证明：v OC= OB,：Z OCB=Z OBC, AB是OO的切线，二OB丄AB,/ OBA= 90,AZ ABP+/ OBC = 90,v OCXAO
4、,aZ AOC = 90,/ OCB+ Z CPO= 90,vZ APB=/ CPO,/ APB=Z ABP,a AP= AB;如答图，作 OH丄BC于H.在RtAOAB中，v OB= 4, AB= 3,OA= 32 + 42= 5,v AP = AB = 3, PO = 2.在 RtAPOC 中，PC= OC2+ OP2= 2 5,v 1pC OH = 2oc OP,OH = CH _ OC2 OH2_ 855,v OH 丄 BC,i CH _ BH，二 BC_2CH _, BP_BC PC_ 165 2 5_655.515类型之二 与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图Z12
5、4, A是。O外一点，AO的延长线交。O于点C,点B在圆上，且AB_ BC,Z A_ 30,求证：直线 AB是O O的切线.证明：如答图，连结OB,v OB_OC, AB_ BC,Z A_30Z OBC_ Z C_ Z A_30,Z AOB_Z C+ Z OBC_60 .vZ ABO_ 180 (Z AOB+Z A)_ 180 (60+ 30) _ 90, AB丄OB,又v OB为O O半径，二AB是O O的切线.【思想方法】证明圆的切线常用两种方法 “作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”.【中考变形】1. 2016黄石如图Z12-5,OO的直径为AB,点C在圆周上(异于A, B), AD
6、丄CD.(1)若 BC = 3, AB = 5,求 AC 的值；若AC是/ DAB的平分线，求证：直线 CD是O O的切线.图Z12-5中考变形1答图解：(1)v AB是O O直径，C在O O 上,/ ACB= 90,又 v BC = 3, AB = 5,二由勾股定理，得AC = 4;证明：如答图，连结OC,v AC是/ DAB的平分线，/ DAC= / BAC,又 vAD 丄 DC,：/ ADC =/ ACB= 90, ADCsAACB,：/ DCA =/CBA,又 v OA= OC，: / OAC= / OCA,v/ OAC+ / OBC= 90o,：/ OCA+ / ACD= / OCD
7、 = 90,直线CD是O O的切线.2. 2017 南充如图 Z12 6,在 RtAACB 中，/ ACB = 90,以 AC 为直径作O O 交AB于点D, E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.(1) 求证：DE是O O的切线；(2) 若CF = 2, DF = 4,求O O直径的长.图 Z12-6中考变形2答图【解析】 连结0D，欲证DE是O O的切线，需证0D丄DE，即需证/ ODE =90，而/ACB = 90,连结CD，根据“等边对等角”可知/ODE=/OCE =90 ，从而得证；(2)在Rt ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解.解：(1)证明：如答图，连结
8、OD，CD. AC 是 O O 的直径，/ ADC = 90 ./ BDC= 90 .又 t E 为 BC 的中点，1 DE = 2BC = CE，aZ EDC=/ ECD.t OD = OC，aZ ODC =/ OCD. / EDC+ / ODC =/ ECD + Z OCD = / ACB= 90 . / ODE= 90,二 DE 是OO 的切线；2 2 2(2)设O O 的半径为 x.在 RtAODF 中，OD + DF = OF， 即 x2 + 42= (x+ 2)2，解得 x= 3. O O 的直径为 6.【中考预测】如图Z12-7, AB是O O的直径，点C， 在AB的延长线上，Z
9、 AED=Z ABC.(1)求证：DE与O O相切；图 Z12-7中考预测答图若BF = 2，DF = . 10，求O O的半径.解：(1)证明：如答图，连结 0D. AB是。O的直径，/ ACB= 90,/ A+/ ABC = 90,vZ BOD= 2/ BCD,/ A= 2/BCD ,/ BOD= Z A,vZ AED=Z ABC,aZ BOD + Z AED = 90,Z ODE= 90, 即 卩 OD 丄 DE，二 DE 与 O O 相切； 如答图，连结BD,过点D作DH丄BF于点H.v DE 与 OO 相切，/ ACD+ Z BCD =Z ODB + Z BDE = 90 vZ AC
10、D=Z OBD, Z OBD =Z ODBBDE =Z BCD ,vZ AED=Z ABC ,AFC =Z DBF ,vZ AFC= Z DFB , ACF与厶FDB都是等腰三角形, FH = BH = *BF = 1, HD = .DF2-FH2= 3 ,在 RtAODH 中,OH2+ DH2= OD2 ,即(OD- 1)2+ 32 = OD2, OD = 5.即O O的半径是5.FAO与圆的切线有关的计算与证明(2)1.如图8, CD是的切线，切点为A,AB是。0的直径.E,FO0上的点, (1)求证：/ DAE= / FDE/A B.若EF/CD,求证: AEF是等腰三角形2. 如图7
11、O 0的半径为1,过点A(2, 0)的直线切 O 0于点B,交y轴于点C.(1) 求线段AB的长；(2) 求以直线AC为图象的一次函数的解析式.3、在厶ABC中，AB=AC，内切圆 O与边BC、AC、AB分别切于 D、E、F.(1) 求证:BF=CE ;(2) 若/ C=30 , CE =2.3，求 AC.I4. 如图 10,在O O 中，/ ACB= / BDC=60，AC=2、3cm，ADC(1)求/ BAC的度数；(2)求O O的周长5已知：如图，AB是O O的直径，AD是弦,OC垂直AD于F交O O于E,连结DE、BE, 且/ C=Z BED .A(1) 求证：AC是O O的切线；(2
12、) 若 OA=10, AD=16，求 AC 的长.6.如图，MP切OO于点M，直线PO交O0于点A、B，弦AC / MP, (1)求证：MO / BC.P(2补充)连结CM,当四边形BCMO为菱形时，求/ P的度数 或反过来问：当.P =30时,判断四边形7如图，在 ABC中，AB=AC，以AB为直径的OO交BC于点M , MN丄AC于点N .AM(1) 求证MN是OO的切线；(2) 若/BAC=120, AB =2，求图中阴影部分的面积.8如图， ABC内接于半圆， AB是直径，过 A作直线 MN，若/ MAC= / ABCN(1) 求证：MN是半圆的切线；(2) 设D是弧AC的中点，连结B
13、D交AC于G, 过D作DE丄AB于E,交AC于F .求证：FD = FG .9. 如图，半圆的直径 AB =10，点C在半圆上，(1) 求弦AC的长；(2) 若P为AB的中点，PE丄AB交AC于点AB = AC, BC交。0于点D , AC交。0于点E10. 已知：如图， AB为O0的直径,E,BAC =45(1 )求 EBC的度数；(2)求证：BD =CD .11.如图，在 ABC中，AB=AC , AE是角平分线，BM平分.ABC交AE于点M , 经过B, M两点的OO交BC于点G，交AB于点F , FB恰为OO的直径.求证：AE与OO相切；BB12.如图，AB是O O的直径，C是弧BD的中点，CE丄AB,垂足为 E, BD交CE于点F .(1)求证：CF 二 BF ;(2选做)若 AD =2 , O O的半径为3,求BC的长.
