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1、1. 题目如图1所示铜芯电缆，电流为5000A，内径为10mm，外包材料聚氯乙烯的厚度为2mm，导热系数为0.15+0.00013t。电缆左半边为绝热边界条件，右半边为第三类边界条件，空气温度为20，绝缘层表面与环境间的复合表面传热系数为10。铜的电阻率为，t的单位为摄氏度。试通过数值方法求解温度分布。图 12. 编程计算2.1 控制方程根据题意，本题为二维稳态导热问题，其控制方程为：边界条件：其中：。2.2 方程离散为建立通用方程，考虑非稳态项的控制方程为：采用全隐格式，在时间内，对控制容积积分，整理后可得：其中：，采用通用表达式，各表达式如下表：表1 坐标及系数表达式坐标系极坐标通用表达式
2、东西坐标南北坐标半径东西尺度系数东西节点间距南北节点间距东西导热面积南北导热面积控制体体积2.3 边界条件处理对于北边界，采用附加源项法处理。由于北边界()为第三类边界条件，则最靠近边界的控制容积加入以下附加源项：其中：将附加源项加到相应控制容积后，再令相应的。对于南边界，可认为定温边界条件，由于其导热面积为零，。对于东西边界，计算时取计算区域，故东西边界重合，可认为为定温边界条件，温度为上一层相邻控制容积的温度。2.4 导热系数与计算取铜导热系数为常数，。每个控制容积各界面对应导热系数分别为、。对于铜芯或保温层内部控制容积，各导热系数均为常数。两者交接界面的导热系数用调和平均法计算。2.5
3、方程求解方程采用ADI-TDMA方法求解，首先在Y方向进行隐式计算，X方向采用显式计算。各方向对应方程为三对角矩阵，使用TDMA法求解。然后再在X方向进行隐式计算，Y方向采用显式计算。3. 结果输出与分析3.1 计算结果程序中温度T为二维数组，采用坐标变换方法，将温度表示在极坐标系中。设定温度初场为23，循环结束判定条件为，网格数为条件下，输出结果如图2：图 23.2 网格独立性考察保持迭代精度不变：1. 网格数为时，计算结果为：图 32. 网格数为时，计算结果为：图 43. 网格数为时，计算结果为：图 5结论：从以上各图可以看出，程序运行结果与网格划分无关，程序具有较好的网格独立性。3.3
4、收获与体会通过这次matlab编程作业，我对二维扩散问题有了更加深刻的理解，对网格划分、通用离散形式、边界条件处理等有了进一步的认识。在编写Matlab程序过程中，我为了直接求解三对角矩阵还曾编写一个Solution.m文件，经过对比后发现此文件相比于TDMA方法在速度上稍微快一点，结果基本相同。通过编程，我更加深刻的认识到只有亲自动手才能加深对问题理解，才能真正获得属于自己的知识。4. 程序语句程序采用Matlab编写，主要分为4部分，分别是主程序，用于给定题目条件，调用其他函数，循环求解等；网格划分函数Grid.m，用于划分网格；SolutionTDMA.m，用于执行交替隐式计算；TDMA
5、.m，用于求解三对角矩阵。14.1 Main.mclear allclear globalformat longglobal Xglobal Yglobal dXglobal dYglobal DXglobal DXnglobal DXsglobal DYglobal Cvglobal CVglobal Tglobal T0global Tfglobal nodXglobal nodYnodX=200;nodY=350;%给出题目参数X=2*pi;Y=7E-3;Grid; %划分网格Tf=20;h=10;%计算导热系数for i=1:5/7*nodY Le(i)=400;%假设铜的导热系数为4
6、00W/(m.K) Lw(i)=400;endfor i=5/7*nodY+1:nodY Le(i)=0.15; Lw(i)=0.15;endfor i=1:5/7*nodY-1 Ln(i)=400;endfor i=5/7*nodY+1:nodY Ln(i)=0.15;endLn(5/7*nodY)=2/(1/Ln(5/7*nodY-1)+1/Ln(5/7*nodY+1);for i=1:5/7*nodY Ls(i)=400;endfor i=5/7*nodY+2:nodY Ls(i)=0.15;endLs(5/7*nodY+1)=2/(1/Ls(5/7*nodY)+1/Ls(5/7*nod
7、Y+2);%设定初始值for i=1:nodX for j=1:nodY T(i,j)=23; endendT0=T;%定义内热源for i=1:nodX for j=1:5/7*nodY Sp(i,j)=-28.37; Sc(i,j)=6525.08+56.74*T0(i,j);%用T0表示上时刻的值 end for j=5/7*nodY+1:nodY Sp(i,j)=0; Sc(i,j)=0; endend%计算系数aE=ones(nodX,1)*(DY.*Le./dX);aW=ones(nodX,1)*(DY.*Lw./dX);aN=ones(nodX,1)*(DXn.*Ln/dY);a
8、S=ones(nodX,1)*(DXs.*Ls/dY);aP0=0;%边界条件的处理，附加源项法Scad=DXn(nodY)/Cv(nodY)*Tf/(1/h+Y/2/nodY/Ln(nodY);Spad=-DXn(nodY)/Cv(nodY)/(1/h+Y/2/nodY/Ln(nodY);for i=1:nodX aN(i,nodY)=0; aS(i,1)=0;endfor i=1:nodX/4 Sc(i,nodY)=Sc(i,nodY)+Scad; Sp(i,nodY)=Sp(i,nodY)+Spad;endfor i=3*nodX/4+1:nodX Sc(i,nodY)=Sc(i,nod
9、Y)+Scad; Sp(i,nodY)=Sp(i,nodY)+Spad;endb=Sc.*CV;aP=aE+aW+aN+aS-aP0-Sp.*CV;SolutionTDMA(aE,aW,aN,aS,aP,b);cont=1norm(T-T0)./T)while (norm(T-T0)./T)1E-8) cont=cont+1 norm(T-T0)./T) T0=T; for i=1:nodX for j=1:5/7*nodYSc(i,j)=6525.08+56.74*T0(i,j); %用T0表示上时刻的值 end for j=5/7*nodY+1:nodY Sc(i,j)=0; end en
10、d for i=1:nodX/4Sc(i,nodY)=Sc(i,nodY)+Scad; end for i=3*nodX/4+1:nodXSc(i,nodY)=Sc(i,nodY)+Scad; end b=Sc.*CV; aP=aE+aW+aN+aS-aP0-Sp.*CV; SolutionTDMA(aE,aW,aN,aS,aP,b);end%输出图形theta=X/nodX;dR=Y/nodY;for i=1:nodX+1 for j=1:nodYX(i,j)=j*dR*cos(theta*(i-1);Y(i,j)=j*dR*sin(theta*(i-1);X(i,1)=0;Y(i,1)=0
11、; endendfor i=1:nodX+1 for j=1:nodY T(nodX+1,j)=T(1,j); Z(i,j)=T(i,j); endendsurf(X,Y,Z);4.2 Grid.mglobal Xglobal Yglobal dXglobal dYglobal DXglobal DXnglobal DXsglobal DYglobal Cvglobal CVglobal nodXglobal nodY%计算半径与尺度系数R=Y/2/nodY:Y/nodY:Y-Y/2/nodY;Rn=R+Y/2/nodY;Rs=R-Y/2/nodY;SX=Y/2/nodY:Y/nodY:Y-Y
12、/2/nodY;%计算节点间距dX=X/nodX.*SX; %东西节点距离 数组dY=Y/nodY; %南北节点距离 常数%计算导热面积DY=dY; %东西导热面积DX=X/nodX.*R; %南北导热面积 DXn=X/nodX*Rn;DXs=X/nodX*Rs;Cv=DY*DX;CV=ones(nodX,1)*Cv;4.3 TDMA.mfunction W = TDMA (A, B, C, D, direct )%TDMA solverglobal nodXglobal nodYif direct=2 nod=nodY;else if direct=1 nod=nodX; endendP(1
13、)=B(1)/A(1);Q(1)=D(1)/A(1);for i=2:nod P(i)=B(i)/(A(i)-C(i)*P(i-1);Q(i)=(D(i)+C(i)*Q(i-1)/(A(i)-C(i)*P(i-1);endW(nod)=Q(nod);for i=nod-1:-1:1 W(i)=P(i)*W(i+1)+Q(i);endend4.4 SolutionTDMA.mfunction = SolutionTDMA ( aE,aW, aN,aS,aP,b )%ADI-TDMA Solverglobal Tglobal T0global nodXglobal nodY%首先在Y方向上隐式计算direct=2，X方向为显式，利用T0direct=2;i=1;for j=1:nodY A(j)=aP(i,j); B(j)=aN(i,j); C(j)=aS(i,j); D(j)=aE(i,j)*T0(i+1,j)+aW(i,j)*T0(nodX,j)+b
