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1、对勾函数的几点分析对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,又被称为“双勾函数”、勾函数等。也被形象称为“耐克函数”奇偶性与单调性当x0时,f(x)=有最小值(这里为了研究方便,规定a0,b0),即当的时候 奇函数。 令,那么: 增区间:x|x-k和x|xk; 减区间:x|-kx0和x|00,那么该函数在 (0,a 上是减函数,在 ,a,+ )上是增函数 (1)如果函数 y=x+(2b)/x (x0)的值域为 6,+),求b 的值; (2)研究函数 y=x2+c/x2 (常数c 0)在定义域内的单调性,并说明理由; (3)对函数y =x+a/x 和y =x2+a/x2(常数a 0)作出推广,使
2、它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数F(x) =(x2+1/x)n+(1/x2+x)n(x 是正整数)在区间½ ,2上的最大值和最小值(可利用你的研究结论) 当x0时,f(x)=ax+b/x有最小值;当x0, 由均值不等式有: f(x)=x+1/x=2根号(x*1/x)=2 当x=1/x取等 x=1,有最小值是:2,没有最大值。 当x0 f(x)=-(-x-1/x) 0,b0)在x0上的单调性 设x1x2且x1,x2(0,+) 则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -(ax2+b/x2) =a(x1-x2)-b(x1-
3、x2)/x1x2 =(x1-x2)(ax1x2-b)/x1x2 因为x1x2,则x1-x20 当x(0,(b/a))时,x1x2b/a 则ax1x2-bb-b=0 所以f(x1)-f(x2)b/a 则ax1x2-bb-b=0 所以f(x1)-f(x2)0,即x(b/a),+)时,f(x)=ax+b/x单调递增。 重点(窍门)其实对勾函数的一般形式是: f(x)=x+a/x(a0) 定义域为(-,0)(0,+) 值域为(-,-2根号a)(2根号a,+) 当x0,有x=根号a,有最小值是2根号a 当x0),设x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a
4、(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(x1x2-a)/(x1x2) 下面分情况讨论 (1)当x1x2-根号a时,x1-x20,x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数在(-,-根号a)上是增函数 (2)当-根号ax1x20时,x1-x20,x1x2-a0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数在(-根号a,0)上是减函数 (3)当0x1x2根号a时,x1-x20,x1x2-a0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数在(0,根号a)上是减函数 (4)当根号ax1x2时,x1-x20,x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数在(根号a,+)上是增函数 解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。