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1、对勾函数的几点分析对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、勾函数等。也被形象称为“耐克函数”奇偶性与单调性当x0时，f(x)=有最小值（这里为了研究方便，规定a0，b0），即当的时候 奇函数。 令，那么： 增区间：x|x-k和x|xk； 减区间：x|-kx0和x|00，那么该函数在 (0,a 上是减函数，在 ，a,+ )上是增函数 （1）如果函数 y=x+(2b)/x （x0）的值域为 6,+)，求b 的值； （2）研究函数 y=x2+c/x2 （常数c 0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数y =x+a/x 和y =x2+a/x2（常数a 0）作出推广，使
2、它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x) =(x2+1/x)n+(1/x2+x)n（x 是正整数）在区间½ ,2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 当x0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x0, 由均值不等式有： f(x)=x+1/x=2根号（x*1/x)=2 当x=1/x取等 x=1,有最小值是：2，没有最大值。 当x0 f(x)=-(-x-1/x) 0,b0)在x0上的单调性 设x1x2且x1，x2(0，+) 则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -（ax2+b/x2） =a（x1-x2)-b（x1-
3、x2）/x1x2 =（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2 因为x1x2，则x1-x20 当x(0，(b/a）)时，x1x2b/a 则ax1x2-bb-b=0 所以f(x1)-f(x2)b/a 则ax1x2-bb-b=0 所以f(x1)-f(x2)0，即x(b/a），+)时，f(x)=ax+b/x单调递增。 重点（窍门）其实对勾函数的一般形式是： f(x)=x+a/x(a0) 定义域为(-,0)(0,+) 值域为(-,-2根号a)(2根号a,+) 当x0,有x=根号a,有最小值是2根号a 当x0),设x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a
4、(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(x1x2-a)/(x1x2) 下面分情况讨论 (1)当x1x2-根号a时，x1-x20,x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)，所以函数在(-,-根号a)上是增函数 (2)当-根号ax1x20时，x1-x20,x1x2-a0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)，所以函数在(-根号a,0)上是减函数 (3)当0x1x2根号a时，x1-x20,x1x2-a0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)，所以函数在(0，根号a)上是减函数 （4）当根号ax1x2时，x1-x20,x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)，所以函数在(根号a，+)上是增函数 解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。
