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1、高考数学压轴数学归纳法（含解法）运用数学归纳法证明问题时，关键是nk1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。、再现性题组：1. 用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)212(2n1) （nN），从“k到k1”，左端需乘的代数式为_。 A. 2k1 B. 2(2k1) C. D. 2. 用数学归纳法证明11)时，由nk (k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的代数式
2、的个数是_。 A. 2 B. 21 C. 2 D. 213. 某个命题与自然数n有关，若nk (kN)时该命题成立，那么可推得nk1时该命题也成立。现已知当n5时该命题不成立，那么可推得_。 (94年上海高考) A.当n6时该命题不成立 B.当n6时该命题成立 C.当n4时该命题不成立 D.当n4时该命题成立4. 数列a中，已知a1，当n2时aa2n1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_。 A. 3n2 B. n C. 3 D. 4n35. 用数学归纳法证明35 (nN)能被14整除，当nk1时对于式子35应变形为_。6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱对角面的个数为f(k+1)
3、f(k)_。【简解】1小题：nk时，左端的代数式是(k1)(k2)(kk),nk1时，左端的代数式是(k2)(k3)(2k1)(2k2)，所以应乘的代数式为，选B；2小题：（21）（21）2，选C；3小题：原命题与逆否命题等价，若nk1时命题不成立，则nk命题不成立，选C。4小题：计算出a1、a4、a9、a16再猜想a，选B；5小题：答案（35）35（53）；6小题：答案k1。、示范性题组：例1. 已知数列，得，。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）【解】 计算得S，S，S，S ， 猜测S (nN)。当n1时，等式显然成立；假设当nk时等式成立，
4、即：S，当nk1时，SS,由此可知，当nk1时等式也成立。综上所述，等式对任何nN都成立。【注】 把要证的等式S作为目标，先通分使分母含有(2k3)，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k3）1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 猜想 证明。【另解】 用裂项相消法求和：由a得，S（1）（）1。此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，
5、但要求发现的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。例2. 设a (nN),证明：n(n1)a (n1) 。【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n1时容易证得，nk1时，因为aa,所以在假设nk成立得到的不等式中同时加上，再与目标比较而进行适当的放缩求解。【解】 当n1时，a，n(n+1)， (n+1)2 ， n1时不等式成立。假设当nk时不等式成立，即：k(k1)a (k1) ，当nk1时，k(k1)ak(k1)(k1)(k1)(k3)(k1)(k2)，(k1)(k1)(k1)(k)(k2)，所以(k1)(k2) a(k2)，即nk1时不等式也成立。综上所述，对所有的nN，不等式n(n1)an可得，a123nn(n1)；由n可得，a123nnn(n1)n(n2n)(n1)。所以n(n1)an (n1且nN)1
