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1、高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式自主训练新人教B版必修22.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式自主广场我夯基 我达标1.已知A(3)、B(-2)两点，则AB=_，|AB|=_.思路解析：由于AB是向量，因此一定要用终点坐标减去起点坐标，|AB|是向量AB的长度，因此一定要求向量AB的数量的绝对值.AB=-2-3=-5；|AB|=|-2-3|=|-5|=5.答案：-5 52.已知点M(2，2)平分线段AB，且A(x，3)、B(3，y)，则x=_,y=_.思路解析：“
2、点M(2，2)平分线段AB”的含义就是点M是线段AB的中点，故可以用中点坐标公式把题意转化为方程组进行求解.点M(2，2)平分线段AB，解得x=1，y=1.答案：1 13.已知点A(5，12)，在x轴上求一点P，使点P与点A的距离等于13，则满足条件的点为_.思路解析：可以用方程的思想根据平面内两点间的距离公式把题意转化成方程(组)进行求解.设点P的坐标为(x，0)，根据题意，得=13，解得x1=0，x2=10.答案:(0,0)或(10,0)4.已知ABC的三个顶点的坐标为A(，2)、B(0，1)、C(0，3)，则此三角形的形状是_.思路解析：判断三角形的形状，首先要知道三角形都有哪些形状.按
3、边分：等边三角形，等腰三角形;按角分：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形.所以在判断三角形的形状时，既要考虑到边的情况，也要考虑到角的情况.根据本题的题设我们先要根据平面内两点间的距离公式计算三角形的边长.|AB|=2,|AC|=2,|BC|=2,ABC为等边三角形.答案：等边三角形5.已知三角形三个顶点的坐标为A(1，1)、B(3，1)、C(2，2)，此三角形的形状是_.思路解析：已知三角形的三个顶点的坐标判断三角形的形状，首先要求出各边的边长，然后考查三边的长度是否满足勾股定理,从而判定三角形的形状.|AB|=2,|AC|=,|BC|=,|AC|=|BC|.又AB2=4,AC2+BC2=4
4、,AB2=AC2+BC2.三角形是等腰直角三角形.答案：等腰直角三角形6.已知ABCD的三个顶点A(0，0)、B(x1，y1)、D(x2，y2)，则顶点C的坐标为_.思路解析：由于ABCD的各顶点的顺序已经确定，因此点C的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质对角线互相平分，再根据中点坐标公式的逆向应用，即可求出点C的坐标.设顶点C的坐标为(m,n)，AC与BD的交点为O，则O为AC和BD的中点，根据题意，得点O的坐标为(,).又点O为AC的中点，=, =.解得m=x2+x1,n=y2+y1,点C的坐标为(x1+x2,y1+y2).答案：(x1+x2,y1+y2)7.判定下列各组点中，哪一个点
5、一定位于另一个点的右侧.(1)M(2x)、N(x)；(2)A(c)、B(c+2)；(3)C(x)、D(x-a)；(4)E(x)、F(x2).思路解析：(1)中的2x与x、(3)中的x与x-a、(4)中的x与x2都无法确定两个数的大小关系，而(2)中的c与c+2大小关系容易确定:cc+2，B(c+2)一定在A(c)的右侧.答案：(2).8.在数轴上求一点的坐标，使它到点A(-9)的距离等于它到点B(-3)的距离的2倍.思路解析：设所求点为C(x)，则由题意得|x-(-9)|=2|x-(-3)|，解得x=3或x=-5.符合条件的点有两个:C1(3)、C2(-5).答案：C1(3)或C2(-5).9
6、.在数轴上，运用两点间距离的概念和计算公式，解下列方程:(1)|x+3|+|x-1|=5；(2)|x+3|+|x-1|=4；(3)|x+3|+|x-1|=3.思路分析：本题中的三个小题实质上是一道题，即在数轴上求到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和分别等于5、4、3的点的坐标.解：(1)-3到1的距离等于4，如图所示，到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和等于5的点为C(1.5)或C(-3.5)，图2-1-(1,2)-6x=-3.5或x=1.5.(2)如图所示，在线段AB上的任意一点到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和都等于4，-3x1.(3)在数轴上找不到一点到两个定点A(-3)和
7、B(1)的距离之和等于3，方程|x+3|+|x-1|=3无解.综上，(1)x=-3.5或x=1.5;(2)xx|-3x1;(3)x.图2-1-(1,2)-710.如图2-1-(1,2)-7，等边ABC的顶点A的坐标为(，0)，B、C在y轴上，(1)写出B、C两点的坐标；(2)求ABC的面积和周长.思路分析：根据等边三角形的性质和题设中的条件，可利用两点间距离公式求边长,从而求出顶点B和C的坐标，再根据三角形面积公式和周长公式解答问题(2).解：(1)如图2-1-(1,2)-4，ABC为等边三角形，|AO|=,|OC|=1,|OB|=1,即B、C两点的坐标分别为B(0,-1)、C(0,1).(2
8、)由(1)得|BC|=2,ABC的周长为6,面积为2=.我综合 我发展11.|x+2|+|x-3|a恒成立，则a的取值是_.思路解析：|x+2|表示数轴上的任意一点到点A(-2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x+2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(-2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|AB|=5.答案：512.如图2-1-(1,2)-8所示，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M,若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)
9、的点的个数是_.图2-1-(1,2)-8思路解析：根据题中对“距离坐标”的定义，如果给出平面上的一个点，我们可以测量出它的距离坐标.本题需要逆向应用距离坐标的定义，在平面内找出符合条件“距离坐标为(1，2)的所有点”的个数.因此要把在平面内到这两条直线距离分别为1和2的点都找到，然后取它们的交集，即确定了一个点.把所有这样的点都找到便知这样的点的个数,如图所示.图2-1-(1,2)-9答案：413.函数y=的最小值为_，此时相应的x值为_.思路解析：将函数关系式转化成平面直角坐标系中的两点间的距离公式进行分析.转化后可以发现题意就是在x轴上求一点，使这点到两个定点的距离之和为最小,并求最小值.
10、y=,在x轴上求一点，使这个点到两定点A(1，1)、B(2，3)的距离之和最小.作点A(1，1)关于x轴的对称点C(1，-1)，则线段BC的长度为所求最小值，即ymin=|BC|=，线段BC与x轴的交点即为所求的x值.直线BC的函数关系式为y=4x-5,它与x轴的交点为(，0)，x=.答案： 14.如图2-1-(1,2)-10，梯形ABCD在平面直角坐标系中，ADBC，ADC=90，|AB|=|DA|+|CB|，腰DC在x轴上，O是线段DC的中点，|BO|=4，且BOC=60.求:(1)A、B、C、D各点的坐标；(2)梯形ABCD的面积.图2-1-(1,2)-10思路分析：此题求点B、C、D的
11、坐标并不困难，难点在于求点A的坐标，此时需要作一条辅助线，即过点A作AE垂直BC于E，然后用方程的思想求出线段AD的长.解：(1)如图所示，过点A作AEBC于E，图2-1-(1,2)-11设点A的纵坐标为y，根据题意，得A(0,y).ADBC，ADC=90，BCD=90.又|BO|=4，且BOC=60，|OC|=2，|BC|=.点C的坐标为(2，0)，点B的坐标为(2,).又O为线段DC的中点，|DO|=2.点D的坐标为(-2,0).|AE|=|DC|=4，|EC|=|AD|=y，|BE|=|BC|-|EC|=-y.|AB|=|DA|+|CB|=y+,又BCD=90,AB2=AE2+BE2,即
12、(y+)2=42+(-y)2.解得y=，点A的坐标为(-2，).(2)S梯形ABCD=(+)4=.综上，(1)B(2,23)、C(2,0)、D(-2,0)、A(-2,);(2) .15.已知等边ABC的两个顶点的坐标为A(-4，0)、B(2，0)，试求:(1)C点的坐标；(2)ABC的面积.思路分析：画出图形之后，根据等边三角形的性质用方程的思想求出点C的坐标，再根据面积公式求出ABC的面积.解：(1)如图所示，设点C的坐标为(x,y)，根据题意，得|AB|=|-4-2|=6，图2-1-(1,2)-12ABC为等边三角形，解得因此，点C的坐标为(-1,)或(-1,-).(2)SABC=6=.综上，(1)C(-1, )或C(-1,-);(2).1
