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1、专题九 不等式一、考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含绝对值的不等式二、数学探索版权所有考试要求：数学探索版权所有（1）理解不等式的性质及其证明数学探索版权所有（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用数学探索版权所有（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式数学探索版权所有（4）掌握简单不等式的解法数学探索版权所有（5）理解不等式a-ba+ba+b三、命题热点高考对该部分主要从以下几个方面考查：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽
2、相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题，通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。四、知识回顾1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）（对称性）（2）（传递性）（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加）（5）（异向不等式相减）（6）（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等式相除）（倒数关系）（11）（平方法则）（12）（开方法则）3.几个重要不
3、等式（1）（2）（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）极值定理：若则：如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. （当仅当a=b=c时取等号）（当仅当a=b时取等号）（7）4.几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b为正数）：特别地，（当a = b时，）幂平均不等式：注：例如：.常用不等式的放缩法：（2）柯西不等式： （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义
4、在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例 一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 （4）.指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；应用化归思想等价转化注：常用不等
5、式的解法举例（x为正数）： 类似于，7、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题(一)二元一次不等式表示的区域 对于直线(A0) 当B0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域.当B0时, 表示直线下方区域; 表示直线的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地
6、，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. (3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（）和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的
7、最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.五、典型例题例1 在ABC中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：B.这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系
8、”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgAtgctg2B=tgAtgctgB=tg(-(A+C)=-tgA+tgC=tgB(tg2B)tgA+tgC2=2tgB即 tg2B-12tgB B 这里，抓住了tg2B=tgAtgC这一相等关系及tgB=-隐含关系.通过tgA+tgC2这一恒成立的不等式得出关于tgB的不等式，求解即得结论.b)“不等”向“相等”的转化.)由实数理论知：若ab且ab则必有a=b，这是由“不等”变为“相等”的典型
9、模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)20及隐含条件(x-y)20可以导出(x-y)0)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y0y-x可含y=-x+t，这里t0，从而把x,y的“不等”关系转化为某种“相等”关系.例2 已知a、b、cR，函数f(x)=axbx+c，g(x)=ax+b，当-1x1时，f(x)1(1)证明：c(2)证明：当x1时，g(x)2(3)设a0，当x1时，g(x)的最大值是2，求f(x).本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不
10、等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.已知告诉我们：对一切x-1,1，g(x)2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a、b、c相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.简解如下：a0，g(x)=ax+b是-1,1上的增函数，当x=1时，g(x)max=g(1)即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) -1f(0)=f(1)-21-2-1c=f(0)=-1当-1x1时f(x)-1恒成立，即f(x)f(0)直线x=0是抛物线
11、y=f(x)的对称轴，由此可得-=0，即b=0代入得a=2f(x)=2x2-12.“相等”与“不等”的构造从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：途径：利用重要不等式：)a2+b22ab)a、b、cR，a+b2，a+b+c3)+2(a、b0)等等利用函数单调性：f(x)是区间I上的增函数，若x1、x2I，则f(x)f(x)；f(x)是区间I上的减函数，若x1、x2I，则f(x1)f(x2)；利用等量关系中的隐含条件，如 x-0 xay= x2+y2=a2 y0 y
12、a例3 已知a、bR且a+b=1，求证a2+b2=1这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下：证明：a b两式相加得a+b 1又已知a+b =1，则上述两不等式必同时取等号即a= ,b= a2+b2=1例4 求满足(x2+2x+3)(y2+1)=2的实数x,y解：x2+2x+3=(x+1)2+22 y2+11(x2+2x+3)(y2+1)2 当且仅当x2+2x+3=2,y2+1=1时成立解之得x=-1且y=0b)在“不等”关系中构造“相等”关系. x=rcos途径：设元构造.例：x2+y21 (0r
13、1) y=rsin数形结合，构造函数(或方程).例：x可设y1=,y2=x例5 求证： (nN，n2)证明：2n=(1+1)n1+n+n2，nN,右端展开式中的各项为正2n即例6 为使不等式x2+4xy+4y2+10x+ay+b0对任意实数x、y恒成立，求实数a、b应满足的条件.解：为使不等式恒成立，须且仅须x2+4xy+4y2+10x+ay+b为一个实数的平方加上一个正增量t，可令x2+4xy+4y2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x2+4xy+4y2+2mx+4my+m2+4 10=2m a=20根据多项式相等的条件有： a=4m b=m2+t(t0) b=25+t25所以当a=20,b25时，原不等式恒成立.例7 已知x2+y21，求x+y的最大值.分析：这里，量x+y与x2+y2的直接关系可以通过2(x2+y2)(x+y)2得出，还可以通过换元令x=rcos，y=rsin，则有r210r1x+y=rcos+rsin=rsin(+) r 得出.3.由不等进行估算估计变数或式子的取值范围，对某些数学问题能起到挖掘隐含信息，找到思
