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1、优选文档0809B一、填空题（每题3分，共18分）2、设zln(xy)，则其全微分dz1 dx1dyy3、函数uy22x的所有中止点是.y22x(x,y)|y22x,xR,yR二、选择题（每题3分，共15分）1、f(x,y)xy，则极限limf(x,y)（）22xyx0y0（A）不存在（B）1（C）2（D）0A20当点limx 0ykxP(x,y)沿曲线f(x,y)limx0xyykx趋向(0,0)时，kx2k显然，当k取值不相同是，极限也不相同。x2k2x21k2因此lim2(x,y)(0,0)xy2不存在2、在曲线xt,yt2,zt3所有切线中，与平面x3y3z4平行的切线（）（A）只有一
2、条；（B）只有两条；（C）最少有3条；（D）不存在曲线的切向量ur，2rT(t),(t),2t,3t),平面的法向量n(1,3,3)(t)=(1(1，2t,3t2)(1,3,3)16t9t20,(3t1)20,得t1.因此只有一条切线满足条3件.3、点0,0是函数zxy的（）（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对解析:令zxy0,zyx0,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是zxy的鞍点,不是极值点.四、计算题（每题8分，共32分）1、设zeusinv,uxy,vxy,求z和zxy解zffufveusinvyeucosvexyysin(xy)cos(
3、xy)xxuxvxzffufveusinvxeucosvexyxsin(xy)cos(xy)yyuyvy五、解答题（每题分10，共20分）1、要造一个容积为定数a的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为x,y,z,则问题就是在条件(x,y,z)xyza0下求函数Sxy2xz2yz(x0,y0,z0)的最小值.作拉格朗日函数L(x,y,z)xy2xz2yz(xyza),y2zyz0,求其对x,y,z,的偏导数，并使之为零，获取x2zxz0,2(xy)xy0,xyza0.因为x,y,z都不等于零，得z1x1y,代入xyza0,得22x
4、32a,y32a,z132a,这是唯一可能的极值点.由问题自己可知最小值2132a时,必然存在，因此最小值就在这个可能的极值点处获取.即长宽高为32a,32a,2最小表面积S33(2a)2.0910B一、填空题（每题2分，共10分）2、设函数zf(x,y)是由方程x2y2z24z给出，则全微分dz2xdx2ydy2zdz4dz,dzxdxydy.2z3、曲面x2y2z214在点P(1,2,3)处的切平面方程为.r(2,4,6),切平面得法向量n(1,2,3)(2x,2y,2z)(1,2,3)切平面方程为2(x1)+4(y2)6(z3)0,或x2y3z140.二、选择题（每题2分，共10分）1、
5、二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微是两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)都存在的（）（A）充分条件（B）必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件.（）（）四、计算题（每题10分，共40分）1、设zu2lnv，而ux、v3x2y，求:z、zyxyz2x2ln3x2y222解：3x2，z2x3ln3x2y2x2xy3x2yyyy3x2yy1011B一、填空题（每题3分，共15分）(1)设二元函数zxexy(x1)ln(1y)，则dz|(1,0).dz|(1,0)(exyxexyln(1y)|(1,0)dx(xexyx1)|(1,0)dy1ydz2edx(e2)dy(1,0
6、)(2)旋转抛物面zx2y21在点(2,1,4)处的法线方程是.r法线的方向向量s(2x,2y,1)(2,1,4)(4,2,1),(2,1,4)法线方程是x2y1z4.421二、单项选择题（每题3分，共15分）(4)设zf(x,y)的全微分为dzxdxydy则点(0,0)(C)不是f(x,y)的连续点；B.不是f(x,y)的极值点；是f(x,y)的极小值点；D.是f(x,y)的极大值点.解析:zxx,zyy,得zxx1,zyy1,zxy0,由ACB210,A10,则点(0,0)是f(x,y)的极小值点.三、求偏导数（每题10分，共20分）（1）设zx3f(xy,y)，其中f拥有二阶连续偏导数.
7、求z；2z；2z.xyy2xy解:z3x2fx3(yf1f2(y3x2fx3yf1xyf2xx2)zx3(xf1f2(1)x4f1x2f2yx2zy(x4f1x2f2)x4(f11xf12(1)x2(f21xf22(1)y2xxx5f11x2x3f12xf22zy4x3f14x3f1(2) z2z4f1yx(xxx4(f11yf122xf2x4yf11z(x,y)是方程x2f2)y2y(x2)2xf2x(f21yf22(x2)yf22.xyzarctan(xyz)在(0,1,1)点确定的函数，求z及xzy(0,1,1)解:令F(x,y,z)xyzarctan(xyz)1分Fzxy11(xyz)211Fxyz1(xyz)2Fyxz1(xyz)26分zFxyz1(xyz)218分z)2；xFzxy1(xy1zFyxz1(xyz)21110分y(0,1,Fzxy1(xyz)211)六、应用题（此题满分10分）从斜l的所有直角三角形中，求有最大周的直角三角形，并求出最大周.解：另两分x,y，x2y2l2，周Cxyl2分拉格朗日函数F(,)xyl(x2y2l2)4分xyFx12x0令Fy12y06分Fx2y2l2
