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1、高考数学精品复习资料 2019.5第十八章不等式选讲考纲展示命题探究1不等式的基本性质(1)如果ab，那么ba；如果bb.(2)如果ab，bc，那么ac.(3)如果ab，那么acbc.(4)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb0，那么anbn(nN，n2)(6)如果ab0，那么(nN，n2)2基本不等式定理1如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2(基本不等式)如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立即：两个正数的算术平均不小于(大于或等于)它们的几何平均定理3如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立即：三个正数的算术平均不小于它们的几
2、何平均推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立3绝对值三角不等式定理1如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|aaxax|xa或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法：零点分类讨论法含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用
3、零点分类讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤为：a令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根；b将这些根按从小到大排序，并把实数集分成若干个区间；c由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；d取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集利用|xa|的几何意义由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|0)或|xa|xb|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函
4、数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的单调性)是解题的关键注意点零点分类讨论法的注意事项分区间讨论时，一是不要把分成的区间的端点遗漏，二是原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集.1思维辨析(1)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(2)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(4)|axb|c的解等价于caxbc.()(5)若|x|c的解集为R，则c0.()(6)不等式|x1|x2|2的解集为.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2函数y|x4|x6|的最小值为()A2 B4C6 D10答案A解析解
5、法一：y|x4|x6|4x|x6|(4x)(x6)|2.解法二：|x4|x6|表示在数轴上，x对应的点到4与6对应点的距离之和，随着x在数轴上的移动易看出|x4|x6|2，故选A.3如果存在实数x使不等式|x1|x2|3解析由|x1|x2|可得|x1|x2|的最小值为3.故k3.考法综述绝对值不等式的解法，不等式中的最值问题，以及含有绝对值的恒成立、存在性参数的取值范围问题是高考中的热点命题法1含绝对值不等式的解法典例1已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)
6、3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故a的取值范围为3,0【解题法】含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：对aR，|x|aaxaxa. (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号 (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解 (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画
7、出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解 (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解命题法2绝对值不等式中的最值问题典例2若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析解法一：不等式|xa|x1|3表示数轴上的点x到点a和点1的距离之和小于等于3.因为数轴上的点x到点a和点1的距离之和最小时，即点x在点a和点1之间时，此时距离之和为|a1|，要使不等式|xa|x1|3有解，则|a1|3，解得2a4.解法二：因为存在实数x使|xa|x1|3成立，所以(|xa|x1|)min3，又|xa|x1|xa(x1)|a1|，所以|a1|3，解得
8、2a4.答案2a4【解题法】含绝对值不等式的最值问题的解法若存在实数使不等式成立问题实质是不等式有解问题，即有这样的x即可，可转化为最值问题若存在实数x，使f(x)a成立，则f(x)mina即可；若存在实数x，使f(x)a成立，即f(x)maxa.1不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4) B(，1)C(1,4) D(1,5)答案A解析当x1时，不等式可化为(x1)(x5)2，即42，显然成立，所以此时不等式的解集为(，1)；当1x5时，不等式可化为x1(x5)2，即2x62，解得x5时，不等式可化为(x1)(x5)2，即42，显然不成立，所以此时不等式无解综上，不等式的解集为(，4)故选
9、A.2若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析设y|2x1|x2|可得最小值为，根据条件可得a2a2，即2a2a10，解得1a.3若关于x的不等式|ax2|0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1
10、)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)5已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值解(1)由|xa|b，得bax0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c.当且仅当axb时，等号成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)2(abc)216，即a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立故a2b2c2的
11、最小值为.7解不等式x|2x3|2.解原不等式可化为或解得x5或x.综上，原不等式的解集是.8.设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，f(x)|xa|(xa)aa22.当且仅当a1时取等号，f(x)2.(2)f(3)5，|a3|5，即3|a3|5，2a32，解得a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解(1)由，得ab2，当ab时，“”成立故a3b324，当ab时，“”成立a3b3的最小值为4.(2)2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.10设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N.(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf2(x).解(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31，得x，1x.当x1时，由f(x)1x1，得x0，0x1.f(x)1的解集为M.(2)证明：由g(x)16x28x14，得1624，
