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1、资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。经济数学基础辅导4叶挺峰第一编 第三章 导数应用本章主要是介绍利用导数研究函数的一些特性, 如极值、 最值和对经济问题进行边际分析、 弹性分析等内容: 一、 如何确定函数的单调区间? 1、 定理: 设y=f(x)在a,b上连续, 在( a,b) 内可导, 若X( a,b) ,有（1） f(X)0, f(X)在a,b上单调增加; （2） f(X)0, f(X)在a,b上单调减少; 此定理中的区间, 称为单调区间。2、 确定函数y=f(x)单调区间步骤: （1） 确定Y=f(x)的定义域D; （2） 求Y; （3） 令Y=0, 求出根;
2、 （4） 用Y=0的根, 划分D为几个小区间, 列出表格判别; （5） 结论。例如: 确定函数的单调区间。解: f(x)的定义域: =6(X-1)(X-2)令 即6( X-1) ( X-2) =0得X1=1, X2=2 列表 X ( -, 1) 1( 1, 2) 2( 2, +) Y + - +Y 注意: 确定Y的符号时, 可取小区间中任意一个确定数, 如: 0, 1.5, 3, 代入f(X)式中定出y的正、 负号, 再用符号”、 ”分别表示, 曲线上升或下降。故f(x)单调增加区间为( -, 1,2, +), 单调减少区间为1, 2 二、 函数极值和最值: 函数极大值与极小值统称为极值。取到
3、极大值或极小值的点统称为极值点。1、 极值的必要条件: f(x)在点X0处可导, 点X0是f(X)的极值点, 则f( X0) =02、 驻点: 使f(X)=0的点, 称为f(X)的驻点( 或稳定点) 。注意: ( 1) 点X0是f(x)的极值点( 或稳定点) , f(x)在X0处可导, 则点X0必定是驻点; ( 2) 驻点不一定是极值点; ( 3) 在导数不存在的点处, 可能有极值。 3、 极值存在充分条件: 设f(x)在点X0的邻域连续且可导( f( X0) 能够不存在) , 当X从X0的左侧到右侧取值时, f(X)符号: 从+变-, X0为极大值点, f(X0)为极大值; 从-变+, X0
4、为极小值点, f(X0)为极小值; 不变号, X0不是极值点, f(X)在X0处无极值。用以上定理, 可判别X0是不是f(X)的极值点。下面举例说明如何求函数的极值和极值点。例如: 求函数的极值。解: f(x)的定义域( -, +) 令f(X)=0 则有得驻点X=8X=0使f(X)无意义, X=0是f(X)不可导的点。列表 X ( -, 0) 0 (0,8) 8 (8, +) y - 不存在 + 0 - y 0 4 极小值 极大值 故X=0是极小值点, 极小值f(0)=0 x=8是极大值点, 极大值f(8)=44、 函数的最值: 函数最大值和最小值统称为函数的最值。对整个函数定义域而言, 极值
5、是局部概念, 函数最值是整体概念。 求应用问题的最值, 常见以下的结论: f(x)在a,b上连续, 在( a,b) 内可导, 且X0是f(x)在( a,b) 内唯一驻点, 那么当X0是f(x)极大值点( 或极小值点) 时, X0一定是f(x)在a,b上的最大值点( 或最小值点) , f(x0)是函数f(x)的最值。例如: 生产某产品的总成本函数 C( X) = 求使平均成本最低的产量及最低平均成本。解: 平均成本 令A( X) =0, 则有=0 得X1=20 X2=20(舍去) 当X20时, A( X) 20时, A( X) 0 X=20是极小值点, 在( 0, +) 内驻点唯一, X=20也
6、是最小值点。 故当产量X=20时, 平均成本最低, 最低平均成本为 A( 20) = 三、 导数在经济分析中的应用1、 需求( 价格) 弹性 设某商品的市场需求量为q, 价格为P, 需求函数q=q(P)可导, 则称为该商品需求价格弹性, 简称需求弹性。其经济意义是: 当某种商品的价格下降( 或上升) 1%时, 某需求量将增加( 或减少) |Ep|%。例如: 某种商品的需求量q(单位: 百件)与价格P( 单位: 千元) 的关系为: p0, 10 求当价格为9千元时的需求弹性。解: 当P=9时, 2、 三个边际函数（1） 边际成本: 边际成本是总成本函数C( q) 关于产量q的导数, 记为MC,
7、则有MC=C( q) 。经济意义: 当产量为p时, 再生产一个单位产品所增加的成本。即边际成本是第q+1个产品的成本。（2） 边际收入: 边际收入是总收入函数R( q) 对销售量q的导数, 记为MR。经济意义: 当销售量q时, 再销售一个商品所增加的收入。（3） 边际利润: 利润函数L=L( q) 对销售量q 的导数, 称为边际利润, 记为ML。由于利润函数L( q) =R(q)-c(q), 则有L( q) =R(q)-c(q)例如: 已知总成本函数为C( q) = +450q+0.02q销售单价为490, 求1） C( q) 2） L(q)及L(q)解: 1) C(q)450+0, 04q2
8、)总收入函数R(q)=pq=490q利润函数: L(q)=R( q) -C(q) =490q-( +450q+0.02q) =-0.02q+40q- 边际利润函数为: L(q)=-0.04q+40自测题:一、 选择题: 1、 函数y=x-4x+5在区间( 0, +) 内 A、 单调增加 B、 先单调增加后单调减少C、 先单调减少后单调增加 D、 单调减少 2、 下列结论中正确的是( ) 。 A、 函数的驻点一定是极值点 B、 函数的极值点一定是驻点 C、 函数的极值点处导数必为0 D、 函数的导数为0的点一定是驻点 3、 设需求函数q= ,则需求弹性EP=( ) A、 B、 C、 D、 二、
9、填空题1、 f(x)在( a,b) 内 有f (X)=0,则f(X)= 。2、 函数f(x)= x-1的单调下降区间是 。3、 已知需求函数, 则需求弹性EP= 。三、 计算题1、 确定函数的单调区间。2、 求函数f(x)=-X4 + x32x + 2的极值。3、 某产品固定成本为18( 万元) , 可变成本2x +5X( 万元) , 其中X为产量( 百台) , 求使平均成本最低的产量。4、 某产品的需求量q=250-2P(P为价格), 价格为多少时, 可使收入最大? 5、 已知某商品的需求量q=1200-100p(件), 其中P是价格( 元/件) , 求使收入最大的销售量和相应的最大收入。6
10、、 某厂生产X个产品的成本为C( X) = 2X +100( 元) 得到收益为R( X) =8X0.01x(元),问生产多少个产品时才能利润最大?最大利润是多少? 答案: 一、 选择题: 1、 C 2、 D 3、 C二、 填空题: 1、 C( 常数) 2、 ( 0, +) 3、 三、 计算题: 1、 f(x)单调增加区间( , -1, 3, +)单调减少区间为-1, 32、 X=0是极大值点, 极大值f(0)=23、 3(百台)4、 62.55、 q=600(件),最大收入R(600)=3600(元)6、 q=300(个),最大利润L(300)=800(元)经济数学基础辅导5叶挺峰第二编 一元
11、函数积分学第四章 一元函数积分学一、 不定积分1、 什么是原函数? 设f(x)是定义在区间D上的函数, 若存在F(x), 对任何xD, 均有 F(x)=f(x)(或dF(x)=f(x)dx)则称F(x)为f(x)在D上原函数(简称f(x)的原函数)。注意: 函数f(x)的原函数不唯一, 有无穷多个。f(x)的任意两个原函数只差一个常数。例如: F(X)是f(x)的一个原函数, C为常数, 有F(x)+C=F(x)=f(x)。2、 不定积分定义: 对于某区间D上的函数f(x)为可积函数, 若存在原函数, 则称f(x)为可积函数, 并将f(x)的全体原函数记为f(x)dx, 并称它为函数 f(x)
12、的不定积分。若F(x)是f(x)的一个原函数, C为任意常数, 由于f(x)的全体原函数可表示为F(x)+C, 则有f(x)dx=F(x)+C其中C称为积分常数。3、 为什么求积与求导互为逆运算? 在f(x)dx= F(x)+C中, 两边对x求导, 则有f(x)dx= F(x)+C=F(x)=f(x)又因F(x) dx=f(x)dx= F(x)+C上式表明: 对F(x)先导后积, 结果是F(x)加上一个常数。可见: 求积与求导(或求微分)互为逆运算。4、 基本积分公式: 求积与求导互为逆运算, 因此, 有一个导数公式就有一个对应的积分公式, 同学们应熟记以下九个积分公式。odx=c xndx=
13、+C(n1) = ln|x|+c axdx=+cexdx=ex+c sinxdx=cosx+ccosdx=sinx+c = cotx+c = tanx+c二、 基本积分方法: (一) 不定积分常见性质1、 代数和分开积f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx2、 常数因子提出来kf(x)dx = kf(x)dx (k0常数)(二) 积分基本方法: 1、 直接积分法这是用不定积分运算性质和积分基本公式, 直接求出不定积分的方法。例1: 求下列不定积分(1) (3x22x+1)dx解: 原式=3x2dx2xdx+dx =32x+c=x3-x2+x+c(2) ( + 2x)dx解: 原式=dx+2xdx=ln|x|+ + c(3) ex(1+e-x)dx
