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1、1虚数单位i(1)i21(即1的平方根是i)(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立(3)i的幂具有周期性：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)，则有inin1in2in30(nN)2复数的分类复数abi(a，bR)3共轭复数设复数z的共轭复数为，则(1)z|z|2|2；(2)z为实数z；z为纯虚数z.4复数相等的条件复数相等的充要条件为abicdiac，bd(a，b，c，dR)特别地，abi0ab0(a，bR)5复数的运算(1)加法和减法运算：(abi)(cdi)(ac)(bd)i(a，b，c，dR)(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行
2、运算，即(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化复数的概念例1复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时，(1)zR？(2)z为虚数？(3)z为纯虚数？解(1)一个复数是实数的充要条件是虚部为0，由得x4，经验证满足式当x4时，zR.(2)一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，解得即x4.当x4时，z为虚数(3)一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，解得无解复数z不可能是纯虚数解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域1若复数z(2i)为纯虚数，求实数a.解
3、：z(2i)(2i)(2i)i为纯虚数，0，即a6.2已知z(x0)，且复数z(zi)的实部减去它的虚部所得的差等于，求.解：z(zi)i.根据题意，得x213.x0，x2，3i.复数的四则运算例2计算：(1)；(2)(2i)(15i)(34i)2i.解(1)原式1i.(2)原式(311i)(34i)2i5321i2i5323i.复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i21.3计算.解：1.4若复数z12i(i为虚数单位)，求zz.解：z12i，12i.zz(12i)(12i)(12i)512i62i.复数问
4、题实数化例3设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z2iz8ai(aR)试求a的取值范围解设zxyi(x，yR)，则xyi.由(1)，知x0，y0.又z2iz8ai(aR)，故(xyi)(xyi)2i(xyi)8ai，即(x2y22y)2xi8ai.消去x，整理，得4(y1)236a2，y0，4(y1)20.36a20.6a6.又2xa，而x0，a0.6a0.a的取值范围为6,0)复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设zxyi(x，yR)，依据是复数相等的充要条件5已知复数z(1i)213i.(1)求|z|；(2)若z2az
5、b，求实数a，b的值解：z(1i)213i2i13i1i.(1)|z|.(2)z2azb(1i)2a(1i)b2iaaibab(a2)i，1i，ab(a2)i1i，a3，b4.复数的几何意义例4已知z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x，yR)，则z2ix(y2)i，(xyi)(2i)(2xy)(2yx)i.由题意知z42i.(zai)24(a2)i2(124aa2)8(a2)i，由已知得2a6.实数a的取值范围是(2,6)复数zabi(a，bR)和复平面上的点P(a，b)一一对应，和向量一一对应，正确求出
6、复数的实部和虚部是解决此类题目的关键6已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OABC.求顶点C所对应的复数z.解：设zxyi，x，yR，如图，因为OABC，|OC|BA|，所以kOAkBC，|zC|zBzA|，即解得或因为|OA|BC|，所以x3，y4(舍去)，故z5.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位若z1i，则(1z)()A3iB3iC13i D3解析：(1z)(2i)(1i)3i.答案：A2(全国卷)设复数z满足(
7、1i)z2i，则|z|()A. B.C.D2解析：因为zi(1i)1i，所以|z|.答案：C3复数z13i，z21i，则zz1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：zz1z2(3i)(1i)33iii242i.在复平面内对应的点为(4，2)，位于第四象限答案：D4已知z是纯虚数，是实数，那么z等于()A2i BiCi D2i解析：设zbi(b0)，则.是实数，2b0.b2，z2i.答案：D5设z1i(i是虚数单位)，则z2()A1i B1iC1i D1i解析：z2(1i)21i2i1i.答案：D6已知复数z12ai(aR)，z212i，若为纯虚数，则|
8、z1|()A. B.C2 D.解析：由于为纯虚数，则a1，则|z1|，故选D.答案：D7若z1(2x1)yi与z23xi(x，yR)互为共轭复数，则z1对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由z1，z2互为共轭复数，得解得所以z1(2x1)yi3i.由复数的几何意义知z1对应的点在第三象限答案：C8(全国卷)设有下面四个命题：p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为()Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4解析：设复数zabi(a，bR)，对于p
9、1，R，b0，zR，p1是真命题；对于p2，z2(abi)2a2b22abiR，ab0，a0或b0，p2不是真命题；对于p3，设z1xyi(x，yR)，z2cdi(c，dR)，则z1z2(xyi)(cdi)cxdy(dxcy)iR，dxcy0，取z112i，z212i，z12，p3不是真命题；对于p4，zabiR，b0，abiaR，p4是真命题答案：B9若复数z1i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2 2的虚部为()A0 B1C1 D2解析：因为z1i，所以1i，所以z2 2(1i)2(1i)22i2i0.故z2 2的虚部为0.答案：A10定义运算adbc，则符合条件42i的复数z为()A
10、3i B13iC3i D13i解析：由定义知ziz，得ziz42i，即z3i.答案：A11ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|zz2| |zz3|，则z对应的点是ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心解析：设复数z与复平面内的点Z相对应，由ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|zz1|zz2|zz3|可知点Z到ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为ABC的外心答案：A12若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则()Ab2，c3 Bb2，c3Cb2，c1 Db2，c1解析：因为1i是实系数方程的一个复数根，
11、所以1i也是方程的根，则1i1i2b，(1i)(1i)3c，解得b2，c3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在题中横线上)13已知复数z123i，z2abi，z314i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若2，则a_，b_.解析：214i2(23i)(abi)即答案：31014若复数z满足方程ii1，则z_.解析：ii1，(i1)(i)1i.z1i.答案：1i15i是虚数单位，2 0186_.解析：原式1 00961 009i6i1009i6i42521i42ii21i.答案：1i16设z1是复数，z2z1i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是1，则z2的虚部是_解析：设z1abi(a，bR)，则1abi，z2abii(abi)(ab)(ab)i.由已知得ab1.z2的虚部为1.答案：1三、解答题(本大题共6小题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知复数z123i，z2.求：(1)z1z2；(2).解：z213i.(1)z1z2(23i)(13i)79i.(2)
