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1、伯努利方程的应用精心整理，伯努利方程及其应用伯努利，1738，瑞士。动能与压强势能互相变换。沿流线的伯努利方程将牛顿第二定律应用于控制体内的流体元，沿流线切线方向整理后因为将流体元的加快度变换成欧拉形式的加快度，沿流线的质点导数为则导出此式为一维欧拉方程，使用下述关系将方程沿流线积分。两边乘以ds得：沿流线积分此式为欧拉方程的积分式，合适于可压、无粘不定常运动。关于不行压定常流动，则可简化为此式为伯努利方程，三项分别表示单位质量流体拥有的动能、位置势能和压强势能。即总机械能守恒。应用伯努利方程经常采纳沿流线上任两点的总机械能值相等的形式。伯努利方程使用的限制条件（1）无粘性流体，（2）不行压流
2、体（3）定常流（4）沿流线。加入能量损失便可适应粘性流体。皮托（pitot）测速管：总压强与动压强皮托测速管又称为皮托-静压管，简称皮托管，为纪念法国人皮托命名。皮托测速管由粗细两根同轴的圆管构成，细管（直径约为1.5mm）前端开孔（O点），粗管（直径约为mm）在距前端合适长距离处的侧壁上开数个小孔（B点），在孔后足够长距离处两管弯900成柄状测速时管轴线沿来流方向搁置设正前面的流速保持为v，静压强为p，流体密度为。粗细两管中的压强被引入形测压计中，形管中液体密度m。试求用形管液位差h表示流速v的关系式。/精心整理解：设流动切合不行压缩无粘性流体定常流动条件。从皮托管正前面点到端点再到侧壁孔点
3、的线是一条流线，点的速度和压强分别为v和p，沿流线段按（）式列伯努利方程22vgzA+pv0gz0p022在皮托管端点，流体速度降至零v00，称为驻点，p0称为驻点压强，形管右支管测到的即是驻点压强因为zAz0，由（a）式可得上式中1 v2称为动压强，为流体质点的动能所有转变为压强势能时2应拥有的压强（b）式表示驻点压强为静压强和动压强之和，故p0称为总压强由（b）式动压强可表为因为皮托管较细，流线上的两点的地点差可忽视，伯努利方程为因vBv，由上式pBp，即形管左支经过皮托管侧壁小孔测到的是当地静压强在形管内列压强关系式可得因为实质流体拥有粘性及皮托管加工偏差等原由，流体动压强转变为形管内液
4、位差读数存在偏差，需乘上一个修正系数k,由（c）,（d）式可得k称为皮托管系数，可经过用标准皮托管作标定丈量后确立由（e）式可得小孔出流：托里拆利公式及缩颈效应从一个大容器侧壁下部距离液面为h处开一个小孔，设液面水位不变，求出流速度和出流流量。解：=22gtan2h23522 h55h20852gtanh2152沿流线法向方向的速度压强关系式由牛顿第二定律：得gAncospA(pp)AAAnv2考虑到几何nR关系，有整理，得忽视重力，得若密度为常数，则有精心整理此式为沿流线法向方向的伯努利方程，应用条件为（1）无粘性流体，（2）不行压流体（3）定常流（4）沿流线法向。假如流线位直线时，曲率半径
5、为无穷大，则此式与静压力公式同样。沿总流的伯努利方程将伯努利方程三项机械能在有效截面A上按质量流量积分，总机械能沿流束仍保持守恒，即以截面均匀流速V取代不均匀的速度散布，引入动能修正因子。有考虑到质量守恒，得关于一个缓变流的两个截面，有例题：Venturi管：沿总流的伯努利方程V2V2p21(gz13gz1gz3)2(gzp5mhgzgz)224mghg(z4z3)应用连续(m1)gh性方程精心整理伯努利方程的意义不行压缩粘性流体内流管道进口流动表示图，设管直径为d,管口外均流速度为U。从开始，流体在壁面上被滞止，形成界限层。界限层外仍保持为均流，称为核心流。由壁面不滑移条件惹起壁面邻近的流速
6、降低，为知足质量守恒定律，核心流流速增大，速度廓线由平展渐渐变为凸出。跟着界限层厚度不停增添，核心流不停加快，直至处四周的界限层相遇，核心流消逝，整个管腔被界限层流动充满，今后速度廓线不再变化。称为进口段流动或发展中流动的速度廓线，均可经过求解N-S方程获取。进口段的压强损失，可利用动量方程求解。由例B4.4.1D推导得管道进口段压强损失系数为式中p0,pL分别为x=0和x=L处的压强。称为达西摩擦因子，它是管道形状，雷诺数和管壁粗拙度的函数，在充散发展定常流动中为常数（将在C3.6中详尽议论）。（）式中的项为进口段中相应于充散发展段中的压强损失。K为进口段中独有的附带压强损失，它由两部分构成
7、：将均流加快成充散发展流动所需要的压强系数；进口段附带压强损失K是进口段长度L，雷诺数Red及管道形状因子的函数，可运用有限差分法求解N-S方程获取。依据计算的K值可估量进口段的长度L。圆管进口段长度与直径的比值的典型公式为L0.06Red层流,L4.4(Red)1/6湍流dd对层流，最大的进口段长度为LMax=0.062300d=138d,(Re=2300)对湍流，因为界限层厚度增添较快，进口段长度比层流短的多Lt=(2040)d,(Re=104106)在实质的工程长管线中，如口段长度所占的比率常常是不足挂齿的，所以除特别要求为其往常不予考虑，全长均按充散发展流动办理，但对一些较短的管道，则
8、应当考虑进口段影响。平行平板间的层流流动是N-S方程拥有分析解的典型例子之一，包含固定平板间的压差流，平板间作相对平移运动的剪切流及两种流动同时存在的一般库埃特流。剖析库埃特流不单有理论意义并且有工程背景，如气体或液体在活塞表面与缸壁间的空隙中的泄露流动，机床中滑块与导轨面的空隙中的润滑油流动，及滑动轴承的轴颈和轴承的空隙中润滑油流动等等。因为空隙（b）很小，流动雷诺数不大，属于层流流态，均可用简化的无穷大平行平面间的粘性流体定常层流模型来剖析。圆管湍流流动湍流还没有切实和全面的定义。湍流运动是有各样大小和不一样涡量的涡旋叠加而形成的流动，在湍流中随机运动和拟序运动并存。圆管流动沿程水头形式的
9、伯努利方程式推行形式为上式中称为水头损失，量纲是L。圆管流动中水头损失由两部分构成：（ 1）沿程损失（hf）是沿等截面管流动时管壁粘性切应力惹起的摩擦损失；精心整理（2）局部损失(hm),是由截面积变化，流动分别和二次流等局部要素惹起的损失。达西公式在水平直圆管定常流动中只有沿程损失，因V1V2,z1z2p1p2p，由（Bb）式中可得hfgg用量纲剖析法求得实验表示P与l/d成正比关系，习惯上用Re,/d取代fRe,/d。称为圆管沿程阻力因子或无量纲摩擦因子，所以上式可表为将上式代入（）式可得上式中l/d称为几何因子，V为管内均匀速度，V2/2g为速度水头。局部损失管入出口、管截面变化部位，弯
10、头和三通、各样阀门等。原由：（1）截面变化惹起速度从头散布；（2）流体元互相碰撞和增添摩擦；（3）二次流；（4）流动分别成涡。hKV2m2g计算式：K为局部损失因子，V为拟订部位的均匀速度。进口K=0.5，出口K=1管截面忽然扩大：局部损失，以下图，均匀速度分别是V1和V2，求局部损失因子。解：取图示虚线所示控制体CV，由连续性方程实考证明在死水区（拐角分别区）的压强PP1。忽视侧壁上的切应力作用，由动量方程由伯努力方程由(a)(b)(c)式（d）式中V1为小管中的速度。含局部损失的管道损失当管道流动中局部损失在总损失中所占比重不可以忽视时，管道计算中应将沿程损失和局部损失均考虑在内，所有损失
11、为所有沿程损失和局部损失之和精心整理在可压缩流体流动中要考虑的流动参数除速度和压强外还要加上密度和温度。连续性方程不再独立，一定与能量方程和状态方程结合求解，求解的结果明显与不行压缩流体的流动规律不一样。比如在必定条件下，可压缩气体在截面积渐渐减小的缩短管道内作减速流动，而在截面积渐渐增大的扩充管道内可作加快流动，均不违反质量守恒定律。往常用压强p、密度和温度T三个物理量表示气体的状态，称为基本状态参数。完整气体的基本状态参数知足以下方程式中R称为气体常数，由下式决定Rm称为通用气体常数，数值是8314.3J/kg?mol?K,m为气体均匀分子量。气体的内能往常指分子热运动所拥有的动能。完整气
12、体的内能是温度的单值函数其微分式可表示为cV称为气体的比定容热容，它也仅是温度的函数cV(T)单位质量气体的焓称为比焓，记为h(J/kg)，定义为h=e+pp 在热力学中称为流动功，在流体力学中称为压能。焓是内能和压能之和。完整气体的焓的微分式可表示为cp称为气体的比定压热容，它仅是温度的函数cp(T)引入比热比与cp,cV的关系为如空气热力学第必定律表述为：对气体所加的热能等于气体内能的增添随和体对外所做功之和。表达式为对完整气体，可分别表示为单位质量气体的熵称为比熵定义为微分式为热力学第二定律表述为：气体在绝热的可逆过程中熵值保持不变；在不行逆过程中熵值必然增添。对完整气体，绝热而又可逆的
13、过程称为等熵过程，ds=0,气体作无摩擦绝热流动时为等熵流动。对完整气体等熵流动可得完整气体作等熵流动时的状态参数关系式，常用表达式为p常数声速来表示流体的可压缩性。声速是弹性介质中轻微扰动流传速度的总称。在图C5.2.2a中有一竖向的轻微压强扰动波在雅致的流体介质（V=0）中以声速c向左运动。设某瞬时波前的流体压强和密度分别为p,。波后的流体速度变为dV压强为p+dp,密度为精心整理d。对地面上的察看者而言，这是一个非定常流动。为了便于观察波前波后流体状态参数的变化关系，在扰动层上取一薄层控制体CV，两边的面积均为A，并将坐标系固定在控制体上与波一同行进，对站在座标系上的察看者而言，流动是定常的。左侧的流体压强为p,密度为，以速度c流入控制体；而后以压强p+dp,密度d，及速度为c-dV
