《微分方程建模课堂讨论之一_利用导数的几何及物理意义建模》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程建模课堂讨论之一_利用导数的几何及物理意义建模（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微分方程建模课堂讨论之一利用导数的几何以及物理意义建模1将一个手表系在一条链子上，当沿直线拉此链的一端，在平面上此手表所描述的轨迹是什么？【注】：微积分的发明人莱布尼兹讨论过此问题。【模型】：v)，2-兀2I【求解】：方法？换元法。y(x)一-x【结果】：y(x)，Ja2X2a*arctanh(“2“),此为解析解。a【预备知识】()积分方法；()双曲函数。【小孩和玩具问题】：一个小孩在平面上沿一曲线行走，设次曲线由两个世纪的函数和确定。假设此小孩借助长度为的硬棒,拉或推某玩具，设和是玩具的位置，试确定玩具的轨迹。【建模分析】1)(),与，之间的距离总是硬棒的长度，于是(Xx)2+(Yy)2，
2、a22)玩具总是在硬棒的方向上运动，因此，两个位置的差向量是玩具的速度方向的倍数，v，(x,y)t:T2)YIyj()玩具的速度依赖于小孩的速度向量的方向。小孩的速度讥在硬棒上的投影是玩具的速度V的模。T【特例】：假设小孩在半径为(硬棒的长)的圆上行走。在此特殊情况下，玩具停留在此圆的圆心，根本不运动。将式(2)代入式(1)可得，x打X-x)y21y厂1Yy丿于是a()如何利用IV|=|VIcos?TC标准化差向量(X,)T,可得单位向量W；VTw；C确定V=(X，,Y，)T在w生成的子空间上的投影:CV=(x，,y，)T=(VTw)wTC()数值解法()数值解程序:程序:小孩的运动：func
3、tionX,Xs,Y,Ys=child(t)%小孩的运动轨迹X=5*cos(t);Y=5*sin(t);Xs=-5*sin(t);Ys=5*cos(t);程序：微分方程模型：functionzs=toolandchild(t,z)X,Xs,Y,Ys=child(t);v=Xs;Ys;w=X-z(1);Y-z(2);w=w/norm(w);zs=(v*w)*w;程序3：主程序%main1.my0=10,0;t,y=ode45(toolandchild,0100,y0)clf;holdon;axis(-610-610);axis(square);plot(y(:,1),y(:,2);t=0:0.0
4、5:6.3;X,Xs,Y,Ys=child(t);plot(X,Y,:);holdoff;2015，.1050-510152020100-10-20-20-1001020动态演示：%main3.my0=020;options=odeset(RelTol,1e-10);t,y=ode45(toolandchild,040,y0,options);X,Xs,Y,Ys=child(t);xmin=min(min(X),min(y(:,1);xmax=max(max(X),max(y(:,1);ymin=min(min(Y),min(y(:,2);ymax=max(max(Y),max(y(:,2);
5、clf;holdon;axis(xminxmaxyminymax);%axis(equal);title(TheChildandtheToy.);stickhandle=line(Color,red,EraseMode,xor,LineStyle,-,XData,YData,);fork=1:length(t)-1plot(X(k),X(k+1),Y(k),Y(k+1),-,Color,red,EraseMode,none);plot(y(k,1),y(k+1,1),y(k,2),y(k+1,2),-,Color,green,EraseMode,none);set(stickhandle,XD
6、ata,X(k+1),y(k+1,1),YData,Y(k+1),y(k+1,2);drawnow;end;holdoff;3【慢跑者与狗】：为了每天锻炼，一个慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步，突然一只狗攻击他，这只狗以恒定速率跑向慢跑者,计算狗的轨迹。【建模分析】：狗的轨迹具有如下性质：在任意时刻，狗的速度向量都指向它的目标慢跑者。假设：慢跑者在某路径上跑步，他的运动由两个函数和描述；假设：假设当时，狗是在点（，）处，在时刻时，它的位置是（，）。下列约束方程成立：（）狗以恒定速率跑：2+y2,w2；（）狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量：X)X-X),入、Y-丿将上述方程代入等式2
7、,*-x)-求解此方程，可得:Iy丿w=0，X-x、丫-y丿将此代入第二个方程，可得狗的轨迹的微分方程w,XX,XX【求解分析】：我们可以利用解该微分方程系统。的命令或者求注意】：当狗到达慢跑者时，系统有一个奇点。此时差向量的范数变为，我们必须停止积分。上面提到的求积微分方程的函数，要求输入独立变量的一个区间。现在，也可以定义另一个求积终止准则，它不同于给定独立变量的一个上界，而是通过检查函数的零交点，来终止积分。结果演示】静态轨迹：在本例中，当狗到达慢跑者，即,X-X)变成很小时，将终止积W-y丿分。为此在函数中，我们必须增加第三个输入参数和两个新的输出参数。积分器或，以两种方法调用此函数：
8、第一种方法是取消第三个参数，函数只返回参数：狗的速率；第二种方法是将关键字n赋值给参数，此关键字告诉函数，在第一个输出中返回零交点函数；第二个输出是一个逻辑向量，它告诉积分器，当第一个输出的分量变成0时，它们迫使过程终止。具有这种性质的每一个分量，在中，用非零标记；第三个输出参数也是一个向量，它表示：对的每个分量，零交点是否仅视为增加值（），下降值（）或两者（）。零交点的条件将在积分器里检查。和主程序中，必须声明狗的速率是全局变量。函数给出慢跑者的轨迹。狗的初始点均为【6的，7的】图慢跑者沿轴跑步（t图3慢跑者沿椭圆跑,追上。跑回家图4慢跑者沿椭圆跑，0闭合轨迹上跑。动画演示：%main4.m
9、globalw;y0=60;70;w=10;options=odeset(RelTol,1e-5,Events,on);t,Y=ode23(dog,0,20,y0,options);J=;forh=1:length(t)w=jogger(t(h);J=J;w;end;xmin=min(min(Y(:,1),min(J(:,1);xmax=max(max(Y(:,1),max(J(:,1);ymin=min(min(Y(:,2),min(J(:,2);ymax=max(max(Y(:,2),max(J(:,2);clf;holdon;axis(xminxmaxyminymax);%axis(eq
10、ual);title(TheJoggerandtheDog.);forh=1:length(t)-1plot(Y(h,1),Y(h+1,1),Y(h,2),Y(h+1,2),-,Color,red,EraseMode,none);plot(J(h,1),J(h+1,1),J(h,2),J(h+1,2),-,Color,green,EraseMode,none);drawnow;pause(0.2);end;holdoff;【追踪问题】我缉私船雷达发现，距离处有一走私船正以匀速沿直线行驶，缉私船立即以最大速度(匀速)追赶。若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，则缉私船的运动轨迹是怎样的？是否能够追上走私船？如果能够追上，需用多少时间？试用数值方法进行模拟。【思考】当缉私船雷达发现处有一走私船后雷达突然损坏，无法跟踪走私船逃窜的位置。若假定走私船作匀速直线运动（但不知方向），且缉私船速度大于走私船速度，则缉私船应采用什么策略才能确保追上走私船？
